Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(f) Do triangulo 0 e 0 com densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a massa e o centro de massa de um triângulo definido por e , sabendo que a densidade é constante. Isso envolve usar conceitos de cálculo, como integrais duplas, para encontrar essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do triângulo. Como a densidade é constante, podemos chamar essa densidade de M = integral duplaD rho , dA . A massa M = rho cdot Área do triângulo é dada pela integral dupla da densidade sobre a região do triângulo:
Como a densidade é constante, podemos simplificar para:
Áâ

Passo 3

Vamos calcular a área do triângulo. O triângulo está limitado por A = integral0^1 integral0^x dy , dx e A = integral0^1 [y]0^x , dx = integral0^1 x , dx = [x^22]0^1 = 12 . A área pode ser calculada pela integral:
Integrando primeiro em :

Passo 4

Agora que temos a área, a massa fica:
M = rho cdot 12

Passo 5

Para encontrar o centro de massa barx = 1M integral duplaD x rho , dA , usamos as fórmulas:
bary = 1M integral duplaD y rho , dA
Como é constante, ela se cancela nas fórmulas.

Passo 6

Vamos calcular barx = 1M integral0^1 integral0^x x , dy , dx = 1rho cdot 12 integral0^1 x cdot x , dx = 2rho integral0^1 x^2 , dx :
integral0^1 x^2 , dx = [x^33]0^1 = 13
Integrando:
barx = 2rho cdot 13 = 23rho
Então:
barx = 23 cdot rho = 23 cdot 1rho = 23 cdot 1rho cdot rho = 23
Mas como , substituindo :

Passo 7

Agora, vamos calcular bary = 1M integral0^1 integral0^x y , dy , dx = 1rho cdot 12 integral0^1 [y^22]0^x dx = 2rho integral0^1 x^22 , dx :
bary = 2rho cdot 12 integral0^1 x^2 , dx = 1rho cdot 13 = 13rho
Simplificando:
bary = 13 cdot 1rho cdot rho = 13
Novamente, substituindo :

Resposta

A massa do triângulo é e o centro de massa está no ponto .

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