Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(f) Do triangulo
e
com densidade constante.
(f) Do triangulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a massa e o centro de massa de um triângulo definido por
e
, sabendo que a densidade é constante. Isso envolve usar conceitos de cálculo, como integrais duplas, para encontrar essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do triângulo. Como a densidade é constante, podemos chamar essa densidade de
. A massa
é dada pela integral dupla da densidade sobre a região do triângulo:
Como a densidade é constante, podemos simplificar para:
Passo 3
Vamos calcular a área do triângulo. O triângulo está limitado por
e
. A área
pode ser calculada pela integral:
Integrando primeiro em
:
Passo 4
Agora que temos a área, a massa fica:
Passo 5
Para encontrar o centro de massa
, usamos as fórmulas:
Como
é constante, ela se cancela nas fórmulas.
Passo 6
Vamos calcular
:
Integrando:
Então:
Mas como
, substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Novamente, substituindo
:
Resposta
A massa do triângulo é
e o centro de massa está no ponto
.