Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(f) Do triangulo e com densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa calcular a massa e o centro de massa de um triângulo definido por e , sabendo que a densidade é constante. Isso envolve usar conceitos de cálculo, como integrais duplas, para encontrar essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do triângulo. Como a densidade é constante, podemos chamar essa densidade de . A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região do triângulo:
Como a densidade é constante, podemos simplificar para:
Áâ

Passo 3

Vamos calcular a área do triângulo. O triângulo está limitado por e . A área pode ser calculada pela integral:
Integrando primeiro em :

Passo 4

Agora que temos a área, a massa fica:

Passo 5

Para encontrar o centro de massa , usamos as fórmulas:
Como é constante, ela se cancela nas fórmulas.

Passo 6

Vamos calcular :
Integrando:
Então:
Mas como , substituindo :

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Novamente, substituindo :

Resposta

A massa do triângulo é e o centro de massa está no ponto .

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