Problema 7 Calcule o momento de inercia de uma barra de comprimento L, onde o eixo de rotação é perpendicular a barra e passa a uma distancia L4 de uma das extremidades da barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre momento de inércia. A pergunta é sobre calcular o momento de inércia de uma barra de comprimento quando o eixo de rotação é perpendicular à barra e fica a uma distância de uma das extremidades. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e usar o Teorema do Eixo Paralelo.

Passo 2

Primeiro, o que é momento de inércia? É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia, e mais difícil será para girar o objeto.

Passo 3

Para uma barra reta de comprimento Icentro = 112 m L^2 e massa , o momento de inércia em relação ao seu centro de massa (meio da barra) é dado por:
Esse é um valor padrão que usamos frequentemente.

Passo 4

Mas o eixo de rotação no problema não está passando pelo centro da barra. Ele está a uma distância de uma das extremidades. Para ajustar isso, vamos usar o Teorema do Eixo Paralelo, que nos ajuda a encontrar o momento de inércia em um eixo que está deslocado em relação ao eixo que passa pelo centro de massa.

Passo 5

O Teorema do Eixo Paralelo diz que:
I = Icentro + m d^2
onde:
  • é o momento de inércia no novo eixo.
  • é o momento de inércia no eixo pelo centro de massa.
  • é a distância entre os dois eixos.

Passo 6

Vamos encontrar a distância d = L2 - L4 = L4 . O eixo que passa pelo centro está no meio da barra, ou seja, a da extremidade. O novo eixo está a da mesma extremidade. Então:

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema do Eixo Paralelo:
I = 112 m L^2 + m ( L4 )^2
I = 112 m L^2 + 116 m L^2

Passo 8

Vamos somar as frações:
I = ( 112 + 116 ) m L^2
Para somar, encontramos um denominador comum, que é 48:
I = ( 448 + 348 ) m L^2 = 748 m L^2

Resposta

O momento de inércia da barra é:
I = 748 , m L^2

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