Problema 7 Calcule o momento de inercia de uma barra de comprimento
, onde o eixo de rotação é perpendicular a barra e passa a uma distancia
de uma das extremidades da barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema sobre momento de inércia. A pergunta é sobre calcular o momento de inércia de uma barra de comprimento
quando o eixo de rotação é perpendicular à barra e fica a uma distância
de uma das extremidades. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e usar o Teorema do Eixo Paralelo.
Passo 2
Primeiro, o que é momento de inércia? É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia, e mais difícil será para girar o objeto.
Passo 3
Para uma barra reta de comprimento
e massa
, o momento de inércia em relação ao seu centro de massa (meio da barra) é dado por:
Esse é um valor padrão que usamos frequentemente.
Passo 4
Mas o eixo de rotação no problema não está passando pelo centro da barra. Ele está a uma distância
de uma das extremidades. Para ajustar isso, vamos usar o Teorema do Eixo Paralelo, que nos ajuda a encontrar o momento de inércia em um eixo que está deslocado em relação ao eixo que passa pelo centro de massa.
Passo 5
O Teorema do Eixo Paralelo diz que:
onde:
-
é o momento de inércia no novo eixo. -
é o momento de inércia no eixo pelo centro de massa. -
é a distância entre os dois eixos.
Passo 6
Vamos encontrar a distância
. O eixo que passa pelo centro está no meio da barra, ou seja, a
da extremidade. O novo eixo está a
da mesma extremidade. Então:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema do Eixo Paralelo:
Passo 8
Vamos somar as frações:
Para somar, encontramos um denominador comum, que é 48:
Resposta
O momento de inércia da barra é:
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