Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que permite redução de ordem. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, especificamente sobre métodos para resolver equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como reduzir a ordem da equação e aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a visualização:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Vamos definir uma nova função
tal que:
Então, a segunda derivada
será a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Substituindo na equação original, temos:
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
.
Passo 4
Essa é uma equação linear de primeira ordem da forma:
onde
e
.
Para resolver, vamos encontrar o fator integrante (
):
Passo 5
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Agora, vamos integrar novamente para encontrar
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Sabemos que:
Primeiro, substituímos
na expressão de
:
Agora, substituímos
na expressão de
e usamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: