Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar , partindo de e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Newton para estimar o valor de , começando com . O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem a função igual a zero. Aqui, vamos aplicar isso para encontrar sem fazer divisões nos cálculos. Vamos precisar da fórmula do Método de Newton e transformar nosso problema de forma que possamos aplicar essa fórmula facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função cuja raiz queremos encontrar. Queremos que seja igual a , então podemos pensar em uma função que fique zero quando . Uma maneira de fazer isso é:
Queremos resolver . Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar o Método de Newton. A derivada de é:
Agora temos tudo que precisamos para aplicar o Método de Newton, que é:

Passo 3

Vamos substituir e na fórmula do Método de Newton:
Simplificando essa expressão:
Agora, temos uma fórmula mais simples para iterar sem precisar fazer divisões!

Passo 4

Vamos começar as iterações com :
Primeira iteração ( ):
Segunda iteração ( ):
Terceira iteração ( ):

Resposta

Após três iterações do Método de Newton, a estimativa para é aproximadamente .

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