Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar 1 / 3, partindo de x0=0.5 e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Newton para estimar o valor de , começando com . O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem a função igual a zero. Aqui, vamos aplicar isso para encontrar sem fazer divisões nos cálculos. Vamos precisar da fórmula do Método de Newton e transformar nosso problema de forma que possamos aplicar essa fórmula facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função cuja raiz queremos encontrar. Queremos que f(x) = 1x - 3 seja igual a f'(x) = -1x^2 , então podemos pensar em uma função que fique zero quando xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Uma maneira de fazer isso é:
Queremos resolver . Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar o Método de Newton. A derivada de é:
Agora temos tudo que precisamos para aplicar o Método de Newton, que é:

Passo 3

Vamos substituir xn+1 = xn - 1xn - 3-1xn^2 e xn+1 = xn + xn^2 ( 1xn - 3 ) na fórmula do Método de Newton:
xn+1 = xn + xn - 3xn^2
Simplificando essa expressão:
xn+1 = 2xn - 3xn^2
Agora, temos uma fórmula mais simples para iterar sem precisar fazer divisões!

Passo 4

Vamos começar as iterações com x1 = 2x0 - 3x0^2 = 2(0,5) - 3(0,5)^2 = 1 - 3(0,25) = 1 - 0,75 = 0,25 :
Primeira iteração ( x2 = 2x1 - 3x1^2 = 2(0,25) - 3(0,25)^2 = 0,5 - 3(0,0625) = 0,5 - 0,1875 = 0,3125 ):
x3 = 2x2 - 3x2^2 = 2(0,3125) - 3(0,3125)^2 = 0,625 - 3(0,09765625) = 0,625 - 0,29296875 = 0,33203125
Segunda iteração ( ):
Terceira iteração ( ):

Resposta

Após três iterações do Método de Newton, a estimativa para é aproximadamente .

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