Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar
, partindo de
e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Método de Newton para estimar o valor de
, começando com
. O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que fazem a função igual a zero. Aqui, vamos aplicar isso para encontrar
sem fazer divisões nos cálculos. Vamos precisar da fórmula do Método de Newton e transformar nosso problema de forma que possamos aplicar essa fórmula facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função cuja raiz queremos encontrar. Queremos que
seja igual a
, então podemos pensar em uma função que fique zero quando
. Uma maneira de fazer isso é:
Queremos resolver
. Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar o Método de Newton. A derivada de
é:
Agora temos tudo que precisamos para aplicar o Método de Newton, que é:
Passo 3
Vamos substituir
e
na fórmula do Método de Newton:
Simplificando essa expressão:
Agora, temos uma fórmula mais simples para iterar sem precisar fazer divisões!
Passo 4
Vamos começar as iterações com
:
Primeira iteração (
):
Segunda iteração (
):
Terceira iteração (
):
Resposta
Após três iterações do Método de Newton, a estimativa para
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Faça (à mão) duas iterações do método da secante para resolver a equação
, partindo de
e
. Verifique, em cada iteração, se pelo menos um dos critérios de parada do método é satisfeito para uma tolerância de
.
Obtenha uma função
de forma que a equação
tenha uma raiz no mesmo valor de
que resolve o problema de otimização. Escreva o processo iterativo do método de Newton aplicado a
.
Seja
e considere a tarefa de resolver a equaccão
pelo método de Newton. Determine
e
de forma que o método gera uma sequência numérica divergente que alterna entre os valores 1 e 2 .
No problema de encontrar a raiz de uma equação pelo método de Newton, um chute inicial de
com
produz
. Qual é a derivada de
em
?