O problema de escoamento bidimensional permanente em torno de um cilindro de raio
envolve a determinação do campo de velocidade
que satisfaz as equações:
juntamente com as condições de contorno:
Considere que o cilindro (estacionário) esteja imerso em um escoamento uniforme incidente com velocidade
. Formule o problema na forma adimensional empregando as variáveis:
no lugar de
,
e
. Sem resolver o problema, mostre que a configuração das linhas de corrente depende de
e
combinados na forma de
. Desta forma, escoamentos com iguais números de Reynolds são dinamicamente similares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de escoamento bidimensional e permanente ao redor de um cilindro. A matéria aqui é mecânica dos fluidos, mais especificamente a equação de Navier-Stokes para escoamentos incompressíveis. O que precisamos fazer é tornar o problema adimensional usando as variáveis dadas e mostrar que a configuração das linhas de corrente depende do número de Reynolds $ Re = \frac{U a}{\nu} $. Assim, escoamentos com o mesmo $ Re $ serão similares dinamicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis adimensionais que a questão nos deu:
Aqui, $ a $ é o raio do cilindro, $ U $ é a velocidade do escoamento incidente, $ \rho $ é a densidade do fluido e $ \nu $ é a viscosidade cinemática.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as derivadas em termos dessas novas variáveis adimensionais. Vamos calcular, por exemplo, a derivada parcial em $ x $:
O mesmo vale para $ y $:
Passo 4
Vamos substituir essas variáveis adimensionais nas equações de Navier-Stokes e na condição de continuidade. A equação de continuidade fica:
E a equação de Navier-Stokes, após substituir e dividir por $ U^2 / a $, fica:
Passo 5
Observamos que a equação de Navier-Stokes adimensionalizada tem um termo com $ \frac{a U}{\nu} $, que é bem conhecido como o número de Reynolds $ Re $:
Então, a equação fica:
Passo 6
Isso mostra que todas as variáveis e parâmetros do problema agora dependem apenas do número de Reynolds $ Re $. Ou seja, a configuração das linhas de corrente não depende diretamente de $ \nu $, $ \alpha $ e $ U $, mas sim da combinação deles na forma de $ Re $.
Resposta
A configuração das linhas de corrente depende apenas do número de Reynolds $ Re = \frac{U a}{\nu} $. Portanto, escoamentos com iguais números de Reynolds são dinamicamente similares.