O problema de escoamento bidimensional permanente em torno de um cilindro de raio a envolve a determinação do campo de velocidade u=[u(x, y), v(x, y), 0] que satisfaz as equações:
(u cdot nabla) u=-1rho nabla p+nu nabla^2 u, nabla cdot u=0
juntamente com as condições de contorno:
u=0 em x^2+y^2=a^2, u (U, 0,0) quando x^2+y^2 infty
Considere que o cilindro (estacionário) esteja imerso em um escoamento uniforme incidente com velocidade U. Formule o problema na forma adimensional empregando as variáveis:
x^prime=xa, y^prime=ya, u^prime=uU, p^prime=prho U^2
no lugar de x, y, u e p. Sem resolver o problema, mostre que a configuração das linhas de corrente depende de nu, alpha e U combinados na forma de R e=U a / nu. Desta forma, escoamentos com iguais números de Reynolds são dinamicamente similares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de escoamento bidimensional e permanente ao redor de um cilindro. A matéria aqui é mecânica dos fluidos, mais especificamente a equação de Navier-Stokes para escoamentos incompressíveis. O que precisamos fazer é tornar o problema adimensional usando as variáveis dadas e mostrar que a configuração das linhas de corrente depende do número de Reynolds $ Re = \frac{U a}{\nu} $. Assim, escoamentos com o mesmo $ Re $ serão similares dinamicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis adimensionais que a questão nos deu:
x' = xa, y' = ya, u' = uU, p' = prho U^2
Aqui, $ a $ é o raio do cilindro, $ U $ é a velocidade do escoamento incidente, $ \rho $ é a densidade do fluido e $ \nu $ é a viscosidade cinemática.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as derivadas em termos dessas novas variáveis adimensionais. Vamos calcular, por exemplo, a derivada parcial em $ x $:
x
O mesmo vale para $ y $:
partialpartial x = 1a partialpartial x'

Passo 4

Vamos substituir essas variáveis adimensionais nas equações de Navier-Stokes e na condição de continuidade. A equação de continuidade fica:
nabla' cdot u' = 0
E a equação de Navier-Stokes, após substituir e dividir por $ U^2 / a $, fica:
U^2 / a

Passo 5

Observamos que a equação de Navier-Stokes adimensionalizada tem um termo com $ \frac{a U}{\nu} $, que é bem conhecido como o número de Reynolds $ Re $:
a Unu
Então, a equação fica:
Re

Passo 6

Isso mostra que todas as variáveis e parâmetros do problema agora dependem apenas do número de Reynolds $ Re $. Ou seja, a configuração das linhas de corrente não depende diretamente de $ \nu $, $ \alpha $ e $ U $, mas sim da combinação deles na forma de $ Re $.

Resposta

A configuração das linhas de corrente depende apenas do número de Reynolds $ Re = \frac{U a}{\nu} $. Portanto, escoamentos com iguais números de Reynolds são dinamicamente similares.

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