O escoamento de um fluido viscoso em um meio poroso é governado pela equação:
0=-nabla p-muk u
em que mu é a viscosidade do fluido e k é a permeabilidade do meio. escoamentos bidimensionais em meios porosos podem ser reproduzidos experimentalmente utilizando-se uma célula de Hele-Shaw, onde fluido viscoso escoa entre dua placas planas horizontais separadas por uma distância h constante.
^0 Para h muito pequeno comparado com o comprimento e a largura das placas, mostre que as componentes u e v do escoamento (induzido por gradientes de pressão horizontais) em uma célula de Hele-Shaw são dadas por:
u(z)=-12 mu partial ppartial x z(h-z), v(z)=-12 mu partial ppartial y z(h-z)
(b) Definindo as velocidades médias:
baru=1h integral0^h u d z, barv=1h integral0^h v d z
determine qual deve ser o espaçamento h entre as placas da célula de Hele-Shaw para que o campo de velocidade u=(baru, barv) observado experimentalmente seja dinamicamente similar ao escoamento bidimensional de fluido com velocidade mu em um meio poroso com permeabilidade k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado trata do escoamento de um fluido viscoso em um meio poroso, usando uma célula de Hele-Shaw. A gente vai precisar entender um pouco de mecânica dos fluidos, especialmente sobre escoamento em meios porosos e células de Hele-Shaw. O objetivo é mostrar como as velocidades nos dois tipos de escoamento estão relacionadas e determinar o espaçamento $ h $ entre as placas da célula para que os escoamentos sejam similares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação que governa o escoamento no meio poroso:
0 = -nabla p - muk u
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade do fluido, $ k $ é a permeabilidade do meio, $ p $ é a pressão, e $ \boldsymbol{u} $ é o vetor velocidade.

Passo 3

Na célula de Hele-Shaw, o fluido escoa entre duas placas separadas por uma distância $ h $. Quando $ h $ é muito pequeno comparado ao comprimento e largura das placas, o escoamento pode ser considerado bidimensional. As componentes da velocidade $ u $ e $ v $ induzidas por gradientes de pressão horizontais são dadas por:
h

Passo 4

Agora, queremos encontrar as velocidades médias $ \bar{u} $ e $ \bar{v} $ sobre a distância $ h $. As definições são:
baru
Vamos calcular essas integrais.

Passo 5

Vamos calcular $ \bar{u} $:
baru
Fatorando constantes:
baru = 1h integral0^h ( -12 mu partial ppartial x z(h - z) ) dz

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral0^h z(h - z) , dz = integral0^h (hz - z^2) , dz = [ h z^22 - z^33 ]0^h = h^32 - h^33 = h^36

Passo 7

Substituindo na expressão de $ \bar{u} $:
baru
De forma similar, para $ \bar{v} $:
baru = -12 mu h partial ppartial x cdot h^36 = -h^212 mu partial ppartial x

Passo 8

Agora, queremos que o campo de velocidade médio $ \overline{\boldsymbol{u}} = (\bar{u}, \bar{v}) $ na célula de Hele-Shaw seja similar ao escoamento no meio poroso, cuja equação principal é:
u = (baru, barv)
Isso implica que as velocidades médias devem satisfazer:
0 = -nabla p - muk u

Passo 9

Comparando com as velocidades médias obtidas na célula de Hele-Shaw:
-h^212 mu partial ppartial x = -kmu partial ppartial x
E similar para a componente $ y $. Podemos cancelar os termos comuns:
y

Passo 10

Resolvendo para $ h $:
h

Resposta

O espaçamento $ h $ entre as placas da célula de Hele-Shaw deve ser $ h = \sqrt{12,k} $ para que os campos de velocidade sejam dinamicamente similares.

Exercícios relacionados