Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
12)
.
12)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que o limite de
quando
tende ao infinito é igual a 0, dado que
. Estamos lidando com limites de sequências, e para resolver isso, vamos precisar entender como uma sequência se comporta quando seus termos são elevados a potências cada vez maiores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
está entre -1 e 1.
Agora, consideremos a sequência
, onde
é um número inteiro positivo que vai aumentando sem parar (ou seja,
tende ao infinito). Quando você eleva um número cujo valor absoluto é menor que 1 a potências cada vez maiores, o resultado vai se aproximando cada vez mais de zero. Isso acontece porque, a cada multiplicação, estamos multiplicando um número menor que 1 por ele mesmo, o que faz diminuirmos o valor.
Matematicamente, podemos ver assim:
Isso é uma propriedade conhecida dos limites notáveis de sequências, onde sequências com termos na forma
tendem a zero quando a base
tem valor absoluto menor que 1.
Resposta
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9) .
9)
Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se é convergente, então,
e
. A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.
27) Prove que se
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
15) .
15)
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
21) .
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