Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
12) lim x^k=0, |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que o limite de quando tende ao infinito é igual a 0, dado que . Estamos lidando com limites de sequências, e para resolver isso, vamos precisar entender como uma sequência se comporta quando seus termos são elevados a potências cada vez maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa limk to infty x^k = 0 se |x| < 1 . Isso quer dizer que o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, está entre -1 e 1.
Agora, consideremos a sequência , onde é um número inteiro positivo que vai aumentando sem parar (ou seja, tende ao infinito). Quando você eleva um número cujo valor absoluto é menor que 1 a potências cada vez maiores, o resultado vai se aproximando cada vez mais de zero. Isso acontece porque, a cada multiplicação, estamos multiplicando um número menor que 1 por ele mesmo, o que faz diminuirmos o valor.
Matematicamente, podemos ver assim:
Isso é uma propriedade conhecida dos limites notáveis de sequências, onde sequências com termos na forma tendem a zero quando a base tem valor absoluto menor que 1.

Resposta

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