Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9)
.
9)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites notáveis de sequências, onde a gente analisa como certas funções se comportam quando a variável cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural (
) cresce em comparação com
à medida que
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
e de
separadamente. Sabemos que
cresce sem limites quando
aumenta, mas cresce mais devagar que qualquer função polinomial de
. Por outro lado,
cresce linearmente.
Passo 3
Para comparar os crescimentos, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada do tipo
. Aplicamos a regra derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Derivando
em relação a
, temos
. Derivando
, temos
.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite fica:
Passo 6
Agora,
é igual a 0, porque quando
cresce sem limites,
se aproxima de zero.