Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites notáveis de sequências, onde a gente analisa como certas funções se comportam quando a variável cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural ( ) cresce em comparação com à medida que fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de e de separadamente. Sabemos que cresce sem limites quando aumenta, mas cresce mais devagar que qualquer função polinomial de . Por outro lado, cresce linearmente.

Passo 3

Para comparar os crescimentos, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada do tipo . Aplicamos a regra derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando em relação a , temos . Derivando , temos .

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite fica:

Passo 6

Agora, é igual a 0, porque quando cresce sem limites, se aproxima de zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se é convergente, então, e . A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome e , já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências :
19) .
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
12) .
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências :
15) .