Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9) lim ln kk=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites notáveis de sequências, onde a gente analisa como certas funções se comportam quando a variável cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural ( ) cresce em comparação com à medida que fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de e de separadamente. Sabemos que cresce sem limites quando aumenta, mas cresce mais devagar que qualquer função polinomial de . Por outro lado, cresce linearmente.

Passo 3

Para comparar os crescimentos, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada do tipo . Aplicamos a regra derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando em relação a , temos . Derivando , temos .

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite fica:
limk to infty ln kk = limk to infty 1k1 = limk to infty 1k

Passo 6

Agora, é igual a 0, porque quando cresce sem limites, se aproxima de zero.

Resposta

limk to infty ln kk = 0

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