Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9)
.
9)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites notáveis de sequências, onde a gente analisa como certas funções se comportam quando a variável cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural (
) cresce em comparação com
à medida que
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
e de
separadamente. Sabemos que
cresce sem limites quando
aumenta, mas cresce mais devagar que qualquer função polinomial de
. Por outro lado,
cresce linearmente.
Passo 3
Para comparar os crescimentos, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada do tipo
. Aplicamos a regra derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Derivando
em relação a
, temos
. Derivando
, temos
.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, o limite fica:
Passo 6
Agora,
é igual a 0, porque quando
cresce sem limites,
se aproxima de zero.
Resposta
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Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se é convergente, então,
e
. A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.
27) Prove que se
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
19) .
19)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
12) .
12)
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
15) .
15)