Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se é convergente, então, e . A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome e , já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para gente provar que se uma sequência converge, então ela também é uma sequência de Cauchy. Isso envolve os conceitos de limites de sequências e a definição de sequência de Cauchy. Para resolver, vamos usar a definição de convergência e aplicar a desigualdade do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Dizemos que converge para se, para todo , existe um número tal que, para todo , a distância é menor que . Em fórmulas:

Passo 3

Agora, a definição de uma sequência de Cauchy é semelhante, mas em vez de comparar os termos com um limite , comparamos os termos entre si. Ou seja, é uma sequência de Cauchy se, para todo , existe um número tal que, para todos , a distância é menor que . Em fórmulas:

Passo 4

Como queremos provar que uma sequência convergente é de Cauchy, vamos partir da definição de convergência. Suponha que converge para . Então, para qualquer , existe um tal que para todo :

Passo 5

Agora, queremos relacionar dois termos quaisquer e com . Vamos usar a desigualdade do triângulo, que diz que:

Passo 6

Substituindo pelas desigualdades que temos:

Passo 7

Portanto, definimos e mostramos que para todo , a distância é menor que , o que satisfaz a definição de sequência de Cauchy.

Resposta

Assim, provamos que se é uma sequência convergente, então ela também é uma sequência de Cauchy.

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