Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se
é convergente, então,
e
. A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.
27) Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para gente provar que se uma sequência
converge, então ela também é uma sequência de Cauchy. Isso envolve os conceitos de limites de sequências e a definição de sequência de Cauchy. Para resolver, vamos usar a definição de convergência e aplicar a desigualdade do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Dizemos que
converge para
se, para todo
, existe um número
tal que, para todo
, a distância
é menor que
. Em fórmulas:
Passo 3
Agora, a definição de uma sequência de Cauchy é semelhante, mas em vez de comparar os termos com um limite
, comparamos os termos entre si. Ou seja,
é uma sequência de Cauchy se, para todo
, existe um número
tal que, para todos
, a distância
é menor que
. Em fórmulas:
Passo 4
Como queremos provar que uma sequência convergente é de Cauchy, vamos partir da definição de convergência. Suponha que
converge para
. Então, para qualquer
, existe um
tal que para todo
:
Passo 5
Agora, queremos relacionar dois termos quaisquer
e
com
. Vamos usar a desigualdade do triângulo, que diz que:
Passo 6
Substituindo pelas desigualdades que temos:
Passo 7
Portanto, definimos
e mostramos que para todo
, a distância
é menor que
, o que satisfaz a definição de sequência de Cauchy.
Resposta
Assim, provamos que se
é uma sequência convergente, então ela também é uma sequência de Cauchy.
Exercícios relacionados
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
19) .
19)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
14) .
14)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9) .
9)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
12) .
12)