Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
15)
.
15)
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para calcular o limite da sequência
definida por
. Aqui, estamos lidando com limites de sequências e fatoriais. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como o fatorial cresce em relação a uma potência exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. O fatorial de
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos até
. Já
é
multiplicado por ele mesmo
vezes.
Passo 3
Para comparar o crescimento de
e
à medida que
aumenta, podemos usar uma fórmula de aproximação para o fatorial, conhecida como Fórmula de Stirling. Essa fórmula nos ajuda a estimar o valor de
para valores grandes de
.
Passo 4
A Fórmula de Stirling é dada por:
Essa fórmula mostra que, para valores grandes de
, o fatorial pode ser aproximado por essa expressão envolvendo potências, a base de Euler
, e uma raiz quadrada.
Passo 5
Substituindo a aproximação de Stirling na expressão original do limite, temos:
Aqui, os termos
se cancelam, simplificando a expressão.
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. O termo
diminui para zero muito rapidamente à medida que
cresce, enquanto
cresce, mas de forma mais lenta.
Passo 7
Como o decaimento exponencial de
domina o crescimento de
, o produto dos dois tende a zero quando
vai para o infinito.
Resposta
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