Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
15) lim k!k^k.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para calcular o limite da sequência (ak) definida por limk to infty k!k^k. Aqui, estamos lidando com limites de sequências e fatoriais. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como o fatorial cresce em relação a uma potência exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa k! e k^k. O fatorial de k, representado por k!, é o produto de todos os números inteiros positivos até k. Já k^k é k multiplicado por ele mesmo k vezes.

Passo 3

Para comparar o crescimento de k! e k^k à medida que k aumenta, podemos usar uma fórmula de aproximação para o fatorial, conhecida como Fórmula de Stirling. Essa fórmula nos ajuda a estimar o valor de k! para valores grandes de k.

Passo 4

A Fórmula de Stirling é dada por:
k! approx k^k e^-k raiz2pi k
Essa fórmula mostra que, para valores grandes de k, o fatorial pode ser aproximado por essa expressão envolvendo potências, a base de Euler e, e uma raiz quadrada.

Passo 5

Substituindo a aproximação de Stirling na expressão original do limite, temos:
k!k^k approx k^k e^-k raiz2pi kk^k = e^-k raiz2pi k
Aqui, os termos k^k se cancelam, simplificando a expressão.

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento de e^-k raiz2pi k quando k tende ao infinito. O termo e^-k diminui para zero muito rapidamente à medida que k cresce, enquanto raiz2pi k cresce, mas de forma mais lenta.

Passo 7

Como o decaimento exponencial de e^-k domina o crescimento de raiz2pi k, o produto dos dois tende a zero quando k vai para o infinito.

Resposta

limk to infty k!k^k = 0

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