Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências :
15) .

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para calcular o limite da sequência definida por . Aqui, estamos lidando com limites de sequências e fatoriais. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como o fatorial cresce em relação a uma potência exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . O fatorial de , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos até . Já é multiplicado por ele mesmo vezes.

Passo 3

Para comparar o crescimento de e à medida que aumenta, podemos usar uma fórmula de aproximação para o fatorial, conhecida como Fórmula de Stirling. Essa fórmula nos ajuda a estimar o valor de para valores grandes de .

Passo 4

A Fórmula de Stirling é dada por:
Essa fórmula mostra que, para valores grandes de , o fatorial pode ser aproximado por essa expressão envolvendo potências, a base de Euler , e uma raiz quadrada.

Passo 5

Substituindo a aproximação de Stirling na expressão original do limite, temos:
Aqui, os termos se cancelam, simplificando a expressão.

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento de quando tende ao infinito. O termo diminui para zero muito rapidamente à medida que cresce, enquanto cresce, mas de forma mais lenta.

Passo 7

Como o decaimento exponencial de domina o crescimento de , o produto dos dois tende a zero quando vai para o infinito.

Resposta

Exercícios relacionados

Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
12) .
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9) .
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências :
21) .
Quantas placas de carro podem ser feitas se, ao invés de utilizar 3 letras e 4 números, forem utilizados 2 letras seguidas de 4 números? E se nenhuma letra ou número possa se repetir?