Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências (ak) :
23) lim integral1^k 1x^p d x, p>1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite da sequência definida pela integral integral1^k 1x^p , dx quando k tende ao infinito, sabendo que p > 1. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais e limites. Precisamos entender como integrar a função 1/x^p e depois ver o que acontece com essa integral quando k fica cada vez maior.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral integral 1x^p , dx. A gente sabe que integrar x^-p (que é o mesmo que 1/x^p) dá:
integral x^-p , dx = x^-p + 1-p + 1 + C
onde C é a constante de integração. Como p neq 1, essa fórmula funciona certinho.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração, que são de 1 até k:
integral1^k 1x^p , dx = [ x^-p + 1-p + 1 ]1^k = k^-p + 1-p + 1 - 1^-p + 1-p + 1
Simplificando, fica:
11 - p (k^1 - p - 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando k vai para o infinito:
limk to infty 11 - p (k^1 - p - 1)
Como p > 1, o expoente 1 - p é negativo, o que significa que k^1 - p tende a zero quando k cresce sem parar. Então, a expressão fica:
11 - p (0 - 1) = -11 - p = 1p - 1

Resposta

O limite da sequência é 1p - 1.

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