Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
14) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que o limite da sequência é igual a 0, onde é um número real. Estamos lidando com limites de sequências, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando cresce grandes valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência e o que significa o limite dela. Uma sequência é uma lista ordenada de números, e o limite dessa sequência, se existir, é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam à medida que o índice cresce indefinidamente. No nosso caso, queremos ver para onde está indo quando fica bem grande.

Passo 3

Agora, vamos analisar as duas partes da fração: o numerador e o denominador . O numerador, , cresce exponencialmente conforme aumenta. Por outro lado, o denominador, , cresce ainda mais rápido do que qualquer função exponencial. Fato importante: para qualquer número real fixo , o crescimento de vai superar o de quando tende ao infinito.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o critério de compara��ão. Sabemos que cresce mais rapidamente que porque, após certo ponto, cada novo termo no fatorial multiplica por um número maior que o multiplicador fixo . Assim, à medida que aumenta, o denominador da nossa fração cresce muito mais do que o numerador, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o teste da razão (ou teste de d’Alembert) para confirmar o limite. Calculando:
Como o limite da razão é menor que 1, isso confirma que a sequência converge para 0.

Resposta

Portanto, para todo .

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5)
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23) .
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19) .
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Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se é convergente, então, e . A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome e , já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.