Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
14) lim x^kk!=0, x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que o limite da sequência x^kk! é igual a 0, onde x é um número real. Estamos lidando com limites de sequências, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções x^k e k! se comportam quando k cresce grandes valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência e o que significa o limite dela. Uma sequência é uma lista ordenada de números, e o limite dessa sequência, se existir, é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam à medida que o índice cresce indefinidamente. No nosso caso, queremos ver para onde x^kk! está indo quando k fica bem grande.

Passo 3

Agora, vamos analisar as duas partes da fração: o numerador x^k e o denominador k!. O numerador, x^k, cresce exponencialmente conforme k aumenta. Por outro lado, o denominador, k!, cresce ainda mais rápido do que qualquer função exponencial. Fato importante: para qualquer número real fixo x, o crescimento de k! vai superar o de x^k quando k tende ao infinito.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar o critério de compara��ão. Sabemos que k! cresce mais rapidamente que x^k porque, após certo ponto, cada novo termo no fatorial multiplica por um número maior que o multiplicador fixo x. Assim, à medida que k aumenta, o denominador da nossa fração cresce muito mais do que o numerador, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.

Passo 5

Além disso, podemos aplicar o teste da razão (ou teste de d’Alembert) para confirmar o limite. Calculando:
limk to infty x^k+1(k+1)!x^kk! = limk to infty xk+1 = 0
Como o limite da razão é menor que 1, isso confirma que a sequência converge para 0.

Resposta

Portanto, lim x^kk! = 0 para todo x in R.

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