Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
14)
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14)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para demonstrar que o limite da sequência
é igual a 0, onde
é um número real. Estamos lidando com limites de sequências, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
cresce grandes valores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência e o que significa o limite dela. Uma sequência é uma lista ordenada de números, e o limite dessa sequência, se existir, é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam à medida que o índice cresce indefinidamente. No nosso caso, queremos ver para onde
está indo quando
fica bem grande.
Passo 3
Agora, vamos analisar as duas partes da fração: o numerador
e o denominador
. O numerador,
, cresce exponencialmente conforme
aumenta. Por outro lado, o denominador,
, cresce ainda mais rápido do que qualquer função exponencial. Fato importante: para qualquer número real fixo
, o crescimento de
vai superar o de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar o critério de compara��ão. Sabemos que
cresce mais rapidamente que
porque, após certo ponto, cada novo termo no fatorial multiplica por um número maior que o multiplicador fixo
. Assim, à medida que
aumenta, o denominador da nossa fração cresce muito mais do que o numerador, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.
Passo 5
Além disso, podemos aplicar o teste da razão (ou teste de d’Alembert) para confirmar o limite. Calculando:
Como o limite da razão é menor que 1, isso confirma que a sequência converge para 0.
Resposta
Portanto,
para todo
.