Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
19)
.
19)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o limite da sequência
. Isso está relacionado com sequências e limites, especificamente envolvendo exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como expressões desse tipo se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão
. Sabemos que, conforme
cresce, essa expressão se aproxima de
, onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
Passo 3
Agora, na nossa sequência original temos
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 4
Substituindo a aproximação que conhecemos, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, obtemos:
Resposta
O limite da sequência é
.
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14) .
14)
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definidas a partir das regras abaixo
5)
5)
Problema - Os exercícios de (24) a (27) são proposições cujas provas baseiam-se na definição de limites de sequâncias.
Pesquise, siga as dicas e demontre estas proposições.
27) Prove que se é convergente, então,
e
. A sequência que obedece a esta relação é chamada sequência de Cauchy. Dica: escreva a dfinição para os dois casos, Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária, pesquise a desigualdade do triângulo, aplique e elabore o argumento.
27) Prove que se
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
9) .
9)