Problema: Integrar numericamente a função f(x)=e^-x^2 no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrar numericamente a função no intervalo de 0 a 1. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Numérico, especificamente o método da Regra dos Trapézios. Esse método nos ajuda a aproximar o valor da integral quando não conseguimos resolver de forma exata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra dos Trapézios. Imagina que a área sob a curva da função que queremos integrar é dividida em vários trapézios em vez de usar retângulos, como na Regra de Riemann. A soma das áreas desses trapézios nos dá uma aproximação da integral.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo h = b - an = 1 - 04 = 0,25 em subintervalos iguais. Quanto mais subintervalos a gente usar, mais precisa será a aproximação. Vamos usar, por exemplo, 4 subintervalos. Isso significa que cada subintervalo terá um tamanho de:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os valores da função x0 = 0, f(x0) = e^-0^2 = 1 nos pontos finais de cada subintervalo:
x1 = 0,25, f(x1) = e^-(0,25)^2 approx 0,939413
x2 = 0,50, f(x2) = e^-(0,50)^2 approx 0,778801
x3 = 0,75, f(x3) = e^-(0,75)^2 approx 0,569783
x4 = 1, f(x4) = e^-1^2 approx 0,367879

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da Regra dos Trapézios:
Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
Integral approx 0,252 [ 1 + 2(0,939413) + 2(0,778801) + 2(0,569783) + 0,367879 ]
Integral approx 0,125 [ 1 + 1,878826 + 1,557602 + 1,139566 + 0,367879 ]
Integral approx 0,125 times 5,943873 approx 0,742984

Resposta

A integral de no intervalo aproximada pela Regra dos Trapézios com 4 subintervalos é aproximadamente 0,742984.

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