(2,5 pontos) Usando o método de Jacobi-Richardson, obter a solução do sistema linear:
com três casas decimais corretas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi-Richardson. O enunciado nos dá três equações com três incógnitas e . O conteúdo que vamos usar aqui é o método iterativo de Jacobi, que é uma técnica para resolver sistemas lineares aproximadamente, começando com uma estimativa inicial e melhorando essa estimativa passo a passo. Para isso, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável e aplicar as iterações até chegarmos a uma solução com três casas decimais corretas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para expressar cada variável em função das outras.
A primeira equação é:
Vamos isolar :
A segunda equação é:
Isolando :
A terceira equação é:
Isolando :
Essas formas são essenciais para o método de Jacobi, onde cada variável é atualizada usando os valores das outras variáveis da iteração anterior.
Passo 3
Agora, precisamos de uma estimativa inicial para começar as iterações. Vamos escolher , e .
Passo 4
Vamos realizar a primeira iteração usando as fórmulas que derivamos:
Passo 5
Agora, usamos os valores da primeira iteração para calcular a segunda:
Passo 6
Vamos para a terceira iteração:
Passo 7
Vamos continuar para a quarta iteração:
Passo 8
Vamos fazer a quinta iteração para aproximar mais:
Passo 9
Vamos verificar se já atingimos a precisão de três casas decimais. Comparando os valores das últimas iterações, parece que as variáveis já estão convergindo para valores estáveis:
Podemos arredondar para três casas decimais.
Resposta
A solução do sistema pelo método de Jacobi-Richardson, com três casas decimais, é: