(2,5 pontos) Usando o método de Jacobi-Richardson, obter a solução do sistema linear:
r 10 x1+x2-x3=10 x1+10 x2+x3=12 2 x1-x2+10 x3=11,
com três casas decimais corretas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi-Richardson. O enunciado nos dá três equações com três incógnitas e . O conteúdo que vamos usar aqui é o método iterativo de Jacobi, que é uma técnica para resolver sistemas lineares aproximadamente, começando com uma estimativa inicial e melhorando essa estimativa passo a passo. Para isso, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável e aplicar as iterações até chegarmos a uma solução com três casas decimais corretas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para expressar cada variável em função das outras.
A primeira equação é:
10x1 + x2 - x3 = 10
Vamos isolar x1 = 10 - x2 + x310 :
x1 + 10x2 + x3 = 12
A segunda equação é:
x2 = 12 - x1 - x310
Isolando 2x1 - x2 + 10x3 = 11 :
x3 = 11 - 2x1 + x210
A terceira equação é:
Isolando :
Essas formas são essenciais para o método de Jacobi, onde cada variável é atualizada usando os valores das outras variáveis da iteração anterior.

Passo 3

Agora, precisamos de uma estimativa inicial para começar as iterações. Vamos escolher , e .

Passo 4

Vamos realizar a primeira iteração usando as fórmulas que derivamos:
x1^(1) = 10 - x2^(0) + x3^(0)10 = 10 - 0 + 010 = 1.000
x2^(1) = 12 - x1^(0) - x3^(0)10 = 12 - 0 - 010 = 1.200
x3^(1) = 11 - 2x1^(0) + x2^(0)10 = 11 - 0 + 010 = 1.100

Passo 5

Agora, usamos os valores da primeira iteração para calcular a segunda:
x1^(2) = 10 - x2^(1) + x3^(1)10 = 10 - 1.200 + 1.10010 = 9.90010 = 0.990
x2^(2) = 12 - x1^(1) - x3^(1)10 = 12 - 1.000 - 1.10010 = 9.90010 = 0.990
x3^(2) = 11 - 2x1^(1) + x2^(1)10 = 11 - 2(1.000) + 1.20010 = 11 - 2 + 1.20010 = 10.20010 = 1.020

Passo 6

Vamos para a terceira iteração:
x1^(3) = 10 - x2^(2) + x3^(2)10 = 10 - 0.990 + 1.02010 = 10.03010 = 1.003
x2^(3) = 12 - x1^(2) - x3^(2)10 = 12 - 0.990 - 1.02010 = 10.99010 = 1.099
x3^(3) = 11 - 2x1^(2) + x2^(2)10 = 11 - 2(0.990) + 0.99010 = 11 - 1.980 + 0.99010 = 10.01010 = 1.001

Passo 7

Vamos continuar para a quarta iteração:
x1^(4) = 10 - x2^(3) + x3^(3)10 = 10 - 1.099 + 1.00110 = 9.90210 = 0.990
x2^(4) = 12 - x1^(3) - x3^(3)10 = 12 - 1.003 - 1.00110 = 9.99610 = 0.9996
x3^(4) = 11 - 2x1^(3) + x2^(3)10 = 11 - 2(1.003) + 1.09910 = 11 - 2.006 + 1.09910 = 10.09310 = 1.0093

Passo 8

Vamos fazer a quinta iteração para aproximar mais:
x1^(5) = 10 - x2^(4) + x3^(4)10 = 10 - 0.9996 + 1.009310 = 10.009710 = 1.0010
x2^(5) = 12 - x1^(4) - x3^(4)10 = 12 - 0.990 - 1.009310 = 10.000710 = 1.00007
x3^(5) = 11 - 2x1^(4) + x2^(4)10 = 11 - 2(0.990) + 0.999610 = 11 - 1.980 + 0.999610 = 10.019610 = 1.00196

Passo 9

Vamos verificar se já atingimos a precisão de três casas decimais. Comparando os valores das últimas iterações, parece que as variáveis já estão convergindo para valores estáveis:
x1 = 1.001
x2 = 1.000
x3 = 1.002
Podemos arredondar para três casas decimais.

Resposta

A solução do sistema pelo método de Jacobi-Richardson, com três casas decimais, é:
x1 = 1.001
x2 = 1.000
x3 = 1.002

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