Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método da Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma matriz e, passo a passo, simplificar para encontrar os valores das incógnitas e . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear, como operações com matrizes e eliminação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Nosso objetivo é conseguir zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira linha como dividindo toda a linha por :
Passo 4
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas para eliminar o , e na primeira coluna:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
Linha 3: Linha 3 - 3 * Linha 1
Linha 4: Linha 4 - 4 * Linha 1
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento da segunda linha seja . Para isso, dividimos a segunda linha por :
Passo 6
Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do na segunda coluna usando a segunda linha:
Linha 1: Linha 1 - Linha 2
Linha 3: Linha 3 + Linha 2
Linha 4: Linha 4 + Linha 2
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o elemento da terceira linha seja . Para isso, dividimos a terceira linha por :
Simplificando para :
Passo 8
Agora, eliminamos os elementos acima e abaixo do na terceira coluna usando a terceira linha:
Linha 1: Linha 1 - * Linha 3
Linha 2: Linha 2 + * Linha 3
Linha 4: Linha 4 + * Linha 3
Após essas operações, a matriz fica:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, vamos resolver a quarta coluna. Simplificamos a última linha para encontrar :