Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss:
rr 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4= & 1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4= & 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método da Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma matriz e, passo a passo, simplificar para encontrar os valores das incógnitas e . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear, como operações com matrizes e eliminação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12

Passo 3

Nosso objetivo é conseguir zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 ). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira linha como dividindo toda a linha por :

Passo 4

Agora, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas para eliminar o 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2 , e na primeira coluna:
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 - 3 * Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - 4 * Linha 1
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2 da segunda linha seja . Para isso, dividimos a segunda linha por :

Passo 6

Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do 1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -5.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 na segunda coluna usando a segunda linha:
  • Linha 1: Linha 1 - Linha 2
  • Linha 3: Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4: Linha 4 + Linha 2
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Queremos que o elemento 1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 2.755.25 & | & 1 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 da terceira linha seja 1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 1121 & | & 1 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 . Para isso, dividimos a terceira linha por :
Simplificando para :

Passo 8

Agora, eliminamos os elementos acima e abaixo do 1 & 0 & 0 & -0.25 - 1.25 times 1121 & | & 2.25 - 1.25 times 1 0 & 1 & 0 & 0.75 + 0.75 times 1121 & | & 1.25 + 0.75 times 1 0 & 0 & 1 & 1121 & | & 1 0 & 0 & 0 & -0.25 + 0.75 times 1121 & | & -0.75 + 0.75 times 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
  • Linha 1: Linha 1 - 1 & 0 & 0 & -0.25 - 13.7521 & | & 1 0 & 1 & 0 & 0.75 + 8.2521 & | & 1.75 0 & 0 & 1 & 1121 & | & 1 0 & 0 & 0 & -0.25 + 8.2521 & | & 0 * Linha 3
  • Linha 2: Linha 2 + * Linha 3
  • Linha 4: Linha 4 + * Linha 3
Após essas operações, a matriz fica:
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, vamos resolver a quarta coluna. Simplificamos a última linha para encontrar -0.25 + 8.2521 = -14 + 1128 = -728 + 1128 = 428 = 17 :
17 x4 = 0 implies x4 = 0
Então, temos:

Resposta

As soluções do sistema são:
x4 = 0 x3 = 1 x2 = 1.75 x1 = 1

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