Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método da Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma matriz e, passo a passo, simplificar para encontrar os valores das incógnitas e . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear, como operações com matrizes e eliminação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Nosso objetivo é conseguir zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna ( 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12 ). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Primeiro, deixamos o primeiro elemento da primeira linha como dividindo toda a linha por :
Passo 4
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas para eliminar o 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2 , e na primeira coluna:
Linha 2: Linha 2 - Linha 1
Linha 3: Linha 3 - 3 * Linha 1
Linha 4: Linha 4 - 4 * Linha 1
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & | & 3.5 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2 da segunda linha seja . Para isso, dividimos a segunda linha por :
Passo 6
Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do 1 & 0 & 1.25 & -0.25 & | & 2.25 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -5.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & -0.75 & -0.25 & | & -0.75 na segunda coluna usando a segunda linha: