Problema de Mistura: Um tanque contém 500 litros de água e está sendo misturado com uma solução que entra a 10 litros por minuto, tendo uma concentração de 3 g / L. Escreva e resolva a equação que modela a quantidade de soluto S(t) no tanque ao longo do tempo.

Passo 1

Então, o problema fala sobre uma mistura. Temos um tanque com 500 litros de água pura e estamos adicionando uma solução que entra a 10 litros por minuto, onde cada litro dessa solução tem 3 gramas de soluto. Vamos precisar usar conceitos de taxas de mistura e equações diferenciais para modelar a quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída do soluto no tanque.
  • Taxa de entrada: A solução que está entrando tem 3 g/L e está entrando a 10 L/min. Então, a taxa de entrada de soluto é:
    Taxa de entrada = 10 , L/min times 3 , g/L = 30 , g/min
  • Taxa de saída: A mistura está saindo a 10 L/min. A concentração de soluto no tanque é Taxa de saída = 10 , L/min times S(t)500 , g/L = S(t)50 , g/min g/L, já que o volume total no tanque é constante em 500 litros. Portanto, a taxa de saída de soluto é:
    í

Passo 3

Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a variação do soluto no tanque ao longo do tempo:
dS(t)dt = Taxa de entrada - Taxa de saída = 30 - S(t)50 í
Essa é uma equação diferencial linear. Para resolvê-la, podemos rearranjar:
dS(t)dt + S(t)50 = 30
Usando o fator integrante e^t50 dS(t)dt + e^t50 S(t)50 = 30 e^t50 , multiplicamos toda a equação por ddt ( S(t) e^t50 ) = 30 e^t50 :
S(t) e^t50 = integral 30 e^t50 dt = 30 times 50 e^t50 + C = 1500 e^t50 + C
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de S(t) = 1500 + C e^-t50 :
0 = 1500 + C Rightarrow C = -1500
Integrando ambos os lados:
S(t) = 1500 (1 - e^-t50)
Dividindo ambos os lados por :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial. No tempo , inicialmente não há soluto no tanque, então :
Portanto, a solução da equação é:

Resposta

A quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo é dada por:
S(t) = 1500 (1 - e^-t50) , gramas

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