Problema de Mistura: Um tanque contém 500 litros de água e está sendo misturado com uma solução que entra a 10 litros por minuto, tendo uma concentração de
. Escreva e resolva a equação que modela a quantidade de soluto
no tanque ao longo do tempo.
Passo 1
Então, o problema fala sobre uma mistura. Temos um tanque com 500 litros de água pura e estamos adicionando uma solução que entra a 10 litros por minuto, onde cada litro dessa solução tem 3 gramas de soluto. Vamos precisar usar conceitos de taxas de mistura e equações diferenciais para modelar a quantidade de soluto
no tanque ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída do soluto no tanque.
-
Taxa de entrada: A solução que está entrando tem 3 g/L e está entrando a 10 L/min. Então, a taxa de entrada de soluto é:
-
Taxa de saída: A mistura está saindo a 10 L/min. A concentração de soluto no tanque é
g/L, já que o volume total no tanque é constante em 500 litros. Portanto, a taxa de saída de soluto é:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a variação do soluto no tanque ao longo do tempo:
Essa é uma equação diferencial linear. Para resolvê-la, podemos rearranjar:
Usando o fator integrante
, multiplicamos toda a equação por
:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. No tempo
, inicialmente não há soluto no tanque, então
:
Portanto, a solução da equação é:
Resposta
A quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo é dada por:
Exercícios relacionados
Sejam
e
e reta que contém os pontos
e
. Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de
em relação ao plano
.
Seja
Se
e
. Verifique se
com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
.
Resolva a equação diferencial:
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base
.
(b) Encontre , se
.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base
(b) Encontre