Problema de Mistura: Um tanque contém 500 litros de água e está sendo misturado com uma solução que entra a 10 litros por minuto, tendo uma concentração de . Escreva e resolva a equação que modela a quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo.

Passo 1

Então, o problema fala sobre uma mistura. Temos um tanque com 500 litros de água pura e estamos adicionando uma solução que entra a 10 litros por minuto, onde cada litro dessa solução tem 3 gramas de soluto. Vamos precisar usar conceitos de taxas de mistura e equações diferenciais para modelar a quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída do soluto no tanque.
  • Taxa de entrada: A solução que está entrando tem 3 g/L e está entrando a 10 L/min. Então, a taxa de entrada de soluto é:
  • Taxa de saída: A mistura está saindo a 10 L/min. A concentração de soluto no tanque é g/L, já que o volume total no tanque é constante em 500 litros. Portanto, a taxa de saída de soluto é:
    í

Passo 3

Agora, vamos montar a equação diferencial que descreve a variação do soluto no tanque ao longo do tempo:
í
Essa é uma equação diferencial linear. Para resolvê-la, podemos rearranjar:
Usando o fator integrante , multiplicamos toda a equação por :
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial. No tempo , inicialmente não há soluto no tanque, então :
Portanto, a solução da equação é:

Resposta

A quantidade de soluto no tanque ao longo do tempo é dada por:

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Sejam e e reta que contém os pontos e . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano .
Seja
Se e . Verifique se com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre .
Resolva a equação diferencial:
Sejam e bases do tais que e .
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base para a base .
(b) Encontre , se .