Sejam alpha: 2 x+y-z=3 e r e reta que contém os pontos A(1,0,0) e B(0,-1,-1). Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de r em relação ao plano alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um plano alpha definido pela equação 2x + y - z = 3 e uma reta r que passa pelos pontos A(1, 0, 0) e B(0, -1, -1). Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial da reta simétrica de r em relação ao plano alpha. Para resolver isso, vamos precisar entender como refletir pontos em um plano e depois aplicar isso aos pontos da reta r.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r. Sabemos que uma reta pode ser representada por uma equação vetorial da forma r = r0 + tv, onde r0 é um ponto na reta e v é o vetor diretor.
Temos dois pontos na reta r: A(1, 0, 0) e B(0, -1, -1). Vamos usar o ponto A como r0 e encontrar o vetor diretor v calculando a diferença entre B e A:
v = B - A = (0 - 1, -1 - 0, -1 - 0) = (-1, -1, -1)
Então, a equação vetorial da reta r é:
r = 1 0 0 + t -1 -1 -1 , t in R

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos simétricos de A e B em relação ao plano alpha. Para fazer isso, vamos usar a fórmula da reflexão de um ponto em relação a um plano.
A fórmula para refletir um ponto P(x, y, z) em relação a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
P' = P - 2 cdot A x + B y + C z + DA^2 + B^2 + C^2 A B C
No nosso caso, a equação do plano alpha é 2x + y - z = 3, que podemos reescrever como 2x + y - z - 3 = 0. Então, A = 2, B = 1, C = -1, e D = -3.
Vamos aplicar isso aos pontos A(1, 0, 0) e B(0, -1, -1).
Para o ponto A(1, 0, 0):
P' &= 1 0 0 - 2 cdot 2(1) + 1(0) -1(0) -32^2 + 1^2 + (-1)^2 2 1 -1 &= 1 0 0 - 2 cdot 2 - 34 + 1 + 1 2 1 -1 &= 1 0 0 - 2 cdot ( -16 ) 2 1 -1 &= 1 0 0 + 13 2 1 -1 &= 1 + 23 0 + 13 0 - 13 &= 53 13 -13
Para o ponto B(0, -1, -1):
P' &= 0 -1 -1 - 2 cdot 2(0) + 1(-1) -1(-1) -34 + 1 + 1 2 1 -1 &= 0 -1 -1 - 2 cdot -1 + 1 -36 2 1 -1 &= 0 -1 -1 - 2 cdot ( -36 ) 2 1 -1 &= 0 -1 -1 + 1 2 1 -1 &= 0 + 2 -1 + 1 -1 -1 &= 2 0 -2
Então, os pontos simétricos são A'( 53, 13, -13 ) e B'(2, 0, -2).

Passo 4

Agora que temos os pontos simétricos A' e B', podemos encontrar a equação vetorial da reta simétrica r'. Vamos usar o mesmo formato que usamos para a reta original:
r' = r'0 + tv'
Onde r'0 é um dos pontos na reta r' (podemos usar A') e v' é o vetor diretor, que podemos encontrar subtraindo as coordenadas de B' e A':
v' = B' - A' = 2 0 -2 - 53 13 -13 = 13 -13 -53
Podemos simplificar o vetor diretor multiplicando por 3 para facilitar:
v' = 3 cdot 13 -13 -53 = 1 -1 -5
Então, a equa��ão vetorial da reta simétrica r' é:
r' = 53 13 -13 + t 1 -1 -5 , t in R

Resposta

A equação vetorial da reta simétrica r' de r em relação ao plano alpha é:
r' = dfrac53 dfrac13 -dfrac13 + t 1 -1 -5 , t in R

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