Sejam e e reta que contém os pontos e . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um plano definido pela equação e uma reta que passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como refletir pontos em um plano e depois aplicar isso aos pontos da reta .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . Sabemos que uma reta pode ser representada por uma equação vetorial da forma , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Temos dois pontos na reta : e . Vamos usar o ponto como e encontrar o vetor diretor calculando a diferença entre e :
Então, a equação vetorial da reta é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos simétricos de A e B em relação ao plano alpha. Para fazer isso, vamos usar a fórmula da reflexão de um ponto em relação a um plano.
A fórmula para refletir um ponto P(x, y, z) em relação a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
P' = P - 2 cdot A x + B y + C z + DA^2 + B^2 + C^2 A B C
No nosso caso, a equação do plano alpha é 2x + y - z = 3, que podemos reescrever como 2x + y - z - 3 = 0. Então, A = 2, B = 1, C = -1, e D = -3.
Vamos aplicar isso aos pontos A(1, 0, 0) e B(0, -1, -1).
Então, os pontos simétricos são A'( 53, 13, -13 ) e B'(2, 0, -2).
Passo 4
Agora que temos os pontos simétricos A' e B', podemos encontrar a equação vetorial da reta simétrica r'. Vamos usar o mesmo formato que usamos para a reta original:
r' = r'0 + tv'
Onde r'0 é um dos pontos na reta r' (podemos usar A') e v' é o vetor diretor, que podemos encontrar subtraindo as coordenadas de B' e A':
v' = B' - A' = 2 0 -2 - 53 13 -13 = 13 -13 -53
Podemos simplificar o vetor diretor multiplicando por 3 para facilitar:
v' = 3 cdot 13 -13 -53 = 1 -1 -5
Então, a equa��ão vetorial da reta simétrica r' é:
r' = 53 13 -13 + t 1 -1 -5 , t in R
Resposta
A equação vetorial da reta simétrica r' de r em relação ao plano alpha é:
r' = dfrac53 dfrac13 -dfrac13 + t 1 -1 -5 , t in R