Sejam e e reta que contém os pontos e . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um plano definido pela equação e uma reta que passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender como refletir pontos em um plano e depois aplicar isso aos pontos da reta .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta . Sabemos que uma reta pode ser representada por uma equação vetorial da forma , onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Temos dois pontos na reta : e . Vamos usar o ponto como e encontrar o vetor diretor calculando a diferença entre e :
Então, a equação vetorial da reta é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos simétricos de e em relação ao plano . Para fazer isso, vamos usar a fórmula da reflexão de um ponto em relação a um plano.
A fórmula para refletir um ponto em relação a um plano é:
No nosso caso, a equação do plano é , que podemos reescrever como . Então, , , , e .
Vamos aplicar isso aos pontos e .
Para o ponto A(1, 0, 0):
Para o ponto B(0, -1, -1):
Então, os pontos simétricos são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos simétricos e , podemos encontrar a equação vetorial da reta simétrica . Vamos usar o mesmo formato que usamos para a reta original:
Onde é um dos pontos na reta (podemos usar ) e é o vetor diretor, que podemos encontrar subtraindo as coordenadas de e :
Podemos simplificar o vetor diretor multiplicando por 3 para facilitar:
Então, a equa��ão vetorial da reta simétrica é:

Resposta

A equação vetorial da reta simétrica de em relação ao plano é:

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(b) .
© .
(d) e .
(e) e .
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