Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo
) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em
, uma fonte de tensão
é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde
é a função degrau unitário e
é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor,
, em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito,
, em termos de
(a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada
e a transformada de Laplace da saída
, usando a função de transferência
.
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre
em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e
. Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor,
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito,
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito RC, que é basicamente um resistor ® e um capacitor © conectados em série. A gente quer ver como a tensão no capacitor, chamada de
, responde ao trazer um pulso de entrada de tensão
. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (ou s). Precisamos entender os conceitos de transformada de Laplace, função de transferência e como aplicá-los em circuitos elétricos para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de transferência do circuito, que é
. No domínio de Laplace, podemos representar o resistor como
e o capacitor como
. Como estão em série, a impedância total é
. A função de transferência é a fração da impedância do capacitor sobre a impedância total:
Passo 3
Agora, vamos achar a transformada de Laplace da entrada
. Sabemos que
, onde
é a função degrau unitário. A transformada de Laplace de
é
, então:
A saída no domínio de Laplace
é então:
Passo 4
Para voltar ao domínio do tempo, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em
. Vamos decompor a fração para facilitar:
Usando a regra de frações parciais:
Então, a tensão no capacitor em função do tempo é:
Passo 5
Por fim, vamos analisar como diferentes valores de
,
e
afetam a resposta do circuito:
-
Resistência
: Aumentando faz com que a constante de tempo aumente, o que significa que o capacitor leva mais tempo para carregar até a tensão final . Isso torna a resposta mais lenta. -
Capacitância
: Aumentando também aumenta , similar ao aumento de . O capacitor demora mais para atingir . -
Amplitude
: Aumentar simplesmente aumenta a tensão máxima que o capacitor alcança. A forma da curva permanece a mesma, mas o valor final é maior.
Em resumo,
e
influenciam a rapidez com que o capacitor carrega, enquanto
define o nível final da tensão no capacitor.
Resposta
A tensão através do capacitor em função do tempo é: