Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo ) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em , uma fonte de tensão é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde é a função degrau unitário e é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor, , em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito, , em termos de (a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada e a transformada de Laplace da saída , usando a função de transferência .
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e . Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito RC, que é basicamente um resistor ® e um capacitor © conectados em série. A gente quer ver como a tensão no capacitor, chamada de , responde ao trazer um pulso de entrada de tensão . Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (ou s). Precisamos entender os conceitos de transformada de Laplace, função de transferência e como aplicá-los em circuitos elétricos para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de transferência do circuito, que é . No domínio de Laplace, podemos representar o resistor como e o capacitor como . Como estão em série, a impedância total é . A função de transferência é a fração da impedância do capacitor sobre a impedância total:

Passo 3

Agora, vamos achar a transformada de Laplace da entrada . Sabemos que , onde é a função degrau unitário. A transformada de Laplace de é , então:
A saída no domínio de Laplace é então:

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em . Vamos decompor a fração para facilitar:
Usando a regra de frações parciais:
Então, a tensão no capacitor em função do tempo é:

Passo 5

Por fim, vamos analisar como diferentes valores de , e afetam a resposta do circuito:
  • Resistência : Aumentando faz com que a constante de tempo aumente, o que significa que o capacitor leva mais tempo para carregar até a tensão final . Isso torna a resposta mais lenta.
  • Capacitância : Aumentando também aumenta , similar ao aumento de . O capacitor demora mais para atingir .
  • Amplitude : Aumentar simplesmente aumenta a tensão máxima que o capacitor alcança. A forma da curva permanece a mesma, mas o valor final é maior.
Em resumo, e influenciam a rapidez com que o capacitor carrega, enquanto define o nível final da tensão no capacitor.

Resposta

A tensão através do capacitor em função do tempo é:

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Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
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