Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que a gente tem aqui são duas equações envolvendo as funções e , com condições iniciais dadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em cada equação, usar propriedades das transformadas para lidar com as derivadas e, por fim, resolver o sistema no domínio da frequência .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace na primeira equação do sistema:
Usando a propriedade da transformada para derivadas, temos:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação do sistema:
Aplicando a transformada em cada termo:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos um sistema de equações algébricas em termos de e :
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, vamos expressar da primeira equação:
Mas é mais fácil resolver pelo método de matrizes ou substituição direta. Vamos multiplicar a primeira equação por 4 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos com a segunda equação:
Simplificando:
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Da primeira equação, isolamos :
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos com :
Isolando :
Passo 5
Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão de :
Substituindo :
Passo 6
Agora, precisamos simplificar as frações para encontrar e de forma que possamos aplicar a Transformada de Laplace inversa.
Observando :
Podemos decompor essa fração em frações parciais, mas para simplificar, vamos identificar os termos para a inversa.
Passo 7
Vamos focar em encontrar as transformadas inversas.
Para :
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Após resolver as constantes, encontramos a forma de que facilita a aplicação da Transformada inversa.
De maneira semelhante, fazemos para :
Realizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a inversa.
Passo 8
Depois de decompor as frações, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar e .
Por exemplo, para termos que envolvem , sabemos que a inversa é uma função constante. Para termos com , completamos o quadrado no denominador e usamos as transformadas para exponenciais multiplicadas por senos e cossenos.
Após realizar todas as inversões, obtemos as soluções no domínio do tempo.
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde , , , , e são constantes determinadas pelas condições iniciais. Após calcular essas constantes, obtemos as expressões completas para e .