Nos seguintes problemas use a definição para calcular L{f(t)}
f(t) = { t, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a Transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente em dois intervalos: para e para . Então, estamos trabalhando com o conteúdo de Transformadas de Laplace e vamos usar a definição básica dessa transformada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a Transformada de Laplace de uma função é a integral de multiplicada por de 0 até infinito.

Passo 3

No nosso caso, a função é zero para . Então, a integral de 0 até infinito na definição da Transformada de Laplace pode ser simplificada para uma integral de 0 até 1, já que além de 1 a função é zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Lembrando que a fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Calculando os limites:
Agora, resolvemos a segunda integral:

Passo 6

Juntando tudo:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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