Nos seguintes problemas use a definição para calcular

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a Transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente em dois intervalos: para e para . Então, estamos trabalhando com o conteúdo de Transformadas de Laplace e vamos usar a definição básica dessa transformada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a Transformada de Laplace de uma função é a integral de multiplicada por de 0 até infinito.

Passo 3

No nosso caso, a função é zero para . Então, a integral de 0 até infinito na definição da Transformada de Laplace pode ser simplificada para uma integral de 0 até 1, já que além de 1 a função é zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Lembrando que a fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Calculando os limites:
Agora, resolvemos a segunda integral:

Passo 6

Juntando tudo:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace:
Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo ) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em , uma fonte de tensão é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde é a função degrau unitário e é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor, , em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito, , em termos de (a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada e a transformada de Laplace da saída , usando a função de transferência .
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e . Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?