Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que:
  • A transformada de é
  • A transformada de é
  • A transformada de é
Então, transformando a equação:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos:
Distribuindo os sinais:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm e os termos constantes:

Passo 5

Isolamos :
Simplificando:

Passo 6

Fatoramos o denominador :
Então:

Passo 7

Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Laplace. Usamos frações parciais para decompor:
Resolvendo para A e B, encontramos:

Passo 8

Aplicando a transformada inversa:
Substituindo os valores de A e B:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo ) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em , uma fonte de tensão é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde é a função degrau unitário e é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor, , em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito, , em termos de (a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada e a transformada de Laplace da saída , usando a função de transferência .
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e . Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace:
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.