Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando a transformada de Laplace. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
é
Então, transformando a equação:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos:
Distribuindo os sinais:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm
e os termos constantes:
Passo 5
Isolamos
:
Simplificando:
Passo 6
Fatoramos o denominador
:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Usamos frações parciais para decompor:
Resolvendo para A e B, encontramos:
Passo 8
Aplicando a transformada inversa:
Substituindo os valores de A e B:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: