Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
y'' - y' - 2y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a transformada de Laplace. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que:
  • A transformada de é
  • A transformada de é
  • A transformada de y(t) é
Então, transformando a equação:

Passo 3

Agora, vamos organizar os termos:
Distribuindo os sinais:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm e os termos constantes:

Passo 5

Isolamos :
Simplificando:

Passo 6

Fatoramos o denominador :
Então:

Passo 7

Para encontrar y(t), aplicamos a transformada inversa de Laplace. Usamos frações parciais para decompor:
Resolvendo para A e B, encontramos:

Passo 8

Aplicando a transformada inversa:
Substituindo os valores de A e B:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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