Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando a transformada de Laplace. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Pra resolver isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Sabemos que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
é
Então, transformando a equação:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos:
Distribuindo os sinais:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm
e os termos constantes:
Passo 5
Isolamos
:
Simplificando:
Passo 6
Fatoramos o denominador
:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Usamos frações parciais para decompor:
Resolvendo para A e B, encontramos:
Passo 8
Aplicando a transformada inversa:
Substituindo os valores de A e B:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Problema: Resposta de um Circuito RC a um Pulso de Entrada. Este problema combina princípios de engenharia elétrica, análise de circuitos e o uso da Transformada de Laplace para resolver sistemas dinâmicos. A resposta em domínio do tempo
) mostrará como o circuito responde ao pulso de entrada ao longo do tempo, o que é útil na engenharia para projetar sistemas de controle e entender o comportamento de sistemas dinâmicos.
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
Considere um circuito elétrico simples que consiste em um resistor ® e um capacitor © conectados em série, como mostrado na figura abaixo:
O circuito está inicialmente em repouso, com a tensão através do capacitor igual a zero. Em
, uma fonte de tensão
é conectada ao circuito, fornecendo um pulso de entrada com a forma:
onde
é a função degrau unitário e
é a amplitude do pulso de entrada.
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor, , em função do tempo após a aplicação do pulso de entrada.
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito, , em termos de
(a variável complexa da Transformada de Laplace).
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada e a transformada de Laplace da saída
, usando a função de transferência
.
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre em função do tempo.
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e . Como a resposta muda com a variação desses parâmetros?
Sua tarefa é determinar a tensão através do capacitor,
Para resolver o problema, resolva as seguintes etapas:
(a) Use a Transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do circuito,
(b) Encontre a transformada de Laplace da entrada
© Aplique a propriedade de inversão da Transformada de Laplace para encontrar a solução em domínio do tempo, ou seja, encontre
(d) Analise a resposta do circuito para diferentes valores de R, C e
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace:
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.