Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . A matéria envolvida aqui é o estudo de assíntotas em funções, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar calcular os limites da função quando vai para mais infinito e menos infinito, e também verificar se há valores de que fazem o denominador da função ser zero, o que indicaria uma assíntota vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Isso significa olhar o que acontece com quando cresce muito, tanto para quanto para .
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :
Então, quando vai para , se aproxima de -2.
Agora, o limite quando tende a :
Então, para indo para , se aproxima de 2.

Passo 3

Agora, vamos procurar por assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero.
O denominador da função é . Vamos ver quando ele é zero:
Isso não tem solução real, já que nunca é negativo. Portanto, não existem valores de que fazem o denominador ser zero.

Resposta

A função possui:
  • Assíntota horizontal em para
  • Assíntota horizontal em para
  • Sem assíntotas verticais

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