Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. A matéria envolvida aqui é o estudo de assíntotas em funções, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar calcular os limites da função quando
vai para mais infinito e menos infinito, e também verificar se há valores de
que fazem o denominador da função ser zero, o que indicaria uma assíntota vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Isso significa olhar o que acontece com
quando
cresce muito, tanto para
quanto para
.
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Então, quando
vai para
,
se aproxima de -2.
Agora, o limite quando
tende a
:
Então, para
indo para
,
se aproxima de 2.
Passo 3
Agora, vamos procurar por assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero.
O denominador da função é
. Vamos ver quando ele é zero:
Isso não tem solução real, já que
nunca é negativo. Portanto, não existem valores de
que fazem o denominador ser zero.
Resposta
A função
possui:
- Assíntota horizontal em
para - Assíntota horizontal em
para - Sem assíntotas verticais
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