Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para resolver uma equação diferencial de valor inicial. A equação que temos é:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto quando . Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui, e . Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, a esquerda da equação é a derivada do produto , o que facilita a integração.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Utilizamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Resolva as equações: ,
Resolva a equação e : .