Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para resolver uma equação diferencial de valor inicial. A equação que temos é:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
quando
. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Aqui,
e
. Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, a esquerda da equação é a derivada do produto
, o que facilita a integração.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Utilizamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Resolva as equações:
,
Resolva a equação
e
:
.