Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é ótimo para equações onde podemos separar as partes que envolvem
das que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Isso significa que queremos termos todos os
de um lado e todos os
do outro. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para simplificar e resolver para
, vamos eliminar os logaritmos aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
(já que
é apenas uma constante positiva):
Como
pode absorver o sinal, podemos escrever simplesmente:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial: