Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é ótimo para equações onde podemos separar as partes que envolvem das que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Isso significa que queremos termos todos os de um lado e todos os do outro. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para simplificar e resolver para , vamos eliminar os logaritmos aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante (já que é apenas uma constante positiva):
Como pode absorver o sinal, podemos escrever simplesmente:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Nos problemas de 1 a 8, resolva as equações diferenciais dadas:
Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial: