Resolva as equações:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso tá relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos precisar entender um pouco sobre características das equações lineares e como encontrar soluções usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução dessa equação tem a forma de uma função exponencial, tipo
. Isso é uma estratégia comum porque facilita o processo. Aí, a gente precisa encontrar o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação diferencial:
Substituindo na equação original:
Podemos dividir tudo por
(que nunca é zero), ficando:
Essa é a equação característica.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções encontradas.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais específicas.
Exercícios relacionados
Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial:
Resolva a equação
e
:
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se
, então
. [Sugestão: Use a desigualdade
.]