Resolva as equações: ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Isso tá relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos precisar entender um pouco sobre características das equações lineares e como encontrar soluções usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução dessa equação tem a forma de uma função exponencial, tipo . Isso é uma estratégia comum porque facilita o processo. Aí, a gente precisa encontrar o valor de que satisfaz a equação.

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo na equação original:
Podemos dividir tudo por (que nunca é zero), ficando:
Essa é a equação característica.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das duas soluções encontradas.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação é:
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais específicas.

Exercícios relacionados

Nos problemas de 9 e 10, resolva os problemas de valor inicial:
Resolva a equação e : .
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: © Se , então . [Sugestão: Use a desigualdade .]