Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa satisfazer as condições iniciais dadas. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e fatores integrantes para encontrar a solução. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação junto com as condições iniciais
e
.
Passo 3
Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Para resolver isso, podemos fazer uma redução de ordem.
Passo 4
Vamos definir uma nova função
. Assim, a segunda derivada
fica sendo
. Substituindo na equação, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada de
. Então:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Assim, isolamos
:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Agora, integramos
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Então, a solução geral é:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Passo 10
Com
, substituímos na expressão de
:
Agora, aplicamos
:
Resposta
A solução do problema é: