Nos problemas de 11 a 15 determine a solução do PVI (PVC)
{x^2 y'' + 3x y' = 0, y(1) = 0, y'(1) = 4}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa satisfazer as condições iniciais dadas. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e fatores integrantes para encontrar a solução. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação junto com as condições iniciais e .

Passo 3

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Para resolver isso, podemos fazer uma redução de ordem.

Passo 4

Vamos definir uma nova função . Assim, a segunda derivada fica sendo . Substituindo na equação, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 5

Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por :
Percebemos que o lado esquerdo é a derivada de . Então:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Assim, isolamos :
Lembrando que , temos:

Passo 8

Agora, integramos para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Então, a solução geral é:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, derivamos para encontrar :
Aplicando :

Passo 10

Com , substituímos na expressão de :
Agora, aplicamos :

Resposta

A solução do problema é:

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