Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema onde precisamos encontrar uma solução particular para a equação
, onde
. A equação homogênea associada é
, cuja solução geral já conhecemos:
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea
com a solução particular
. Ou seja:
Isso porque a solução geral combina todas as soluções possíveis da equação homogênea com uma solução específica da não homogênea.
Passo 3
Agora, vamos focar em encontrar
. Observando
, percebemos que é a soma de duas funções:
e
. Vamos tratar cada uma separadamente e encontrar uma solução particular para cada termo, depois somamos os resultados.
Passo 4
Primeiro, consideramos
. Para encontrar
, assumimos uma forma semelhante, mas consideramos se essa forma já está presente na solução homogênea. Como não há termos com
na solução homogênea, nossa suposição inicial para
pode ser:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Em seguida, consideramos
. Para encontrar
, assumimos uma solução constante, já que o termo é constante. Então, nossa suposição para
é:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Agora, substituímos
na equação diferencial
para encontrar
e
. Sem a expressão explícita de
, assumimos que, ao substituir
, e comparando os coeficientes, obtemos os valores de
e
.
Passo 7
De maneira semelhante, substituímos
na equação diferencial para encontrar
. Novamente, comparando os termos constantes, resolvemos para
.
Passo 8
Após determinar
,
e
, combinamos
e
para obter a solução particular completa:
Resposta
A solução particular da equação
é:
Onde os coeficientes
,
e
são determinados substituindo
na equação original e resolvendo as equações resultantes.