Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x) = phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x) = 0 for x_h = c_1 + c_2 * e^t + c_3 * t * e^t.
11.39 phi(t) = t e^(-2 t) + 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde precisamos encontrar uma solução particular para a equação , onde . A equação homogênea associada é , cuja solução geral já conhecemos: . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular . Ou seja:
Isso porque a solução geral combina todas as soluções possíveis da equação homogênea com uma solução específica da não homogênea.

Passo 3

Agora, vamos focar em encontrar . Observando , percebemos que é a soma de duas funções: e . Vamos tratar cada uma separadamente e encontrar uma solução particular para cada termo, depois somamos os resultados.

Passo 4

Primeiro, consideramos . Para encontrar , assumimos uma forma semelhante, mas consideramos se essa forma já está presente na solução homogênea. Como não há termos com e^(-2 t) na solução homogênea, nossa suposição inicial para pode ser:
Onde A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Em seguida, consideramos . Para encontrar , assumimos uma solução constante, já que o termo é constante. Então, nossa suposição para é:
Onde C é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Agora, substituímos na equação diferencial para encontrar A e B. Sem a expressão explícita de , assumimos que, ao substituir , e comparando os coeficientes, obtemos os valores de A e B.

Passo 7

De maneira semelhante, substituímos na equação diferencial para encontrar C. Novamente, comparando os termos constantes, resolvemos para C.

Passo 8

Após determinar A, B e C, combinamos e para obter a solução particular completa:

Resposta

A solução particular da equação é:
Onde os coeficientes A, B e C são determinados substituindo na equação original e resolvendo as equações resultantes.

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