Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de para dada, se a solução da equação homogênea associada for .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de equações diferenciais lineares. A gente precisa encontrar uma solução particular para a equação , onde . Sabemos também que a solução da equação homogênea associada é . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar uma solução específica para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela é composta por duas partes: uma constante (3) e um termo que envolve um polinômio multiplicado por uma função trigonométrica (). Para encontrar a solução particular, precisamos considerar cada uma dessas partes separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a constante . Quando a parte não homogênea é uma constante, a solução particular geralmente também é uma constante. Então, vamos supor que a solução particular correspondente a essa parte seja , onde é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Agora, vamos analisar a parte . Para termos como , a solução particular geralmente envolve termos como , onde e são constantes a serem encontradas. Isso porque, ao derivar senos e cossenos, acabamos alternando entre essas funções, e o termo indica que precisamos multiplicar por para ajustar nossa suposição.
Passo 5
Então, combinando as duas partes, nossa solução particular completa será a soma das soluções particulares de cada uma das partes de . Assim, temos: