Nos Problemas 7 a 11, escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:
A (2, 1, O), B e C .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever tanto a equação geral quanto o sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos três pontos , e .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre planos.
O que vamos precisar:
Vetores a partir dos pontos dados.
Produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano.
Fórmula da equação geral do plano.
Utilização de parâmetros para as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano no espaço. Um plano é determinado por três pontos não colineares. Para escrever a equação geral do plano, precisamos encontrar o vetor normal a esse plano.
Passo 3
Vamos começar determinando dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso criando vetores a partir dos pontos , e .
Vetor é a diferença entre os pontos e :
Vetor é a diferença entre os pontos e :
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre e .
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Portanto, o vetor normal é:
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto do plano, por exemplo -4(x - 2) + 8(y - 1) + 0(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-4x + 8y + 8 = 0
Substituindo os valores:
-4x + 8y = -8
Simplificando a expressão:
x - 2y = 2
Ou, rearranjando:
x - 2y = 2
Dividindo todos os termos por -4 para simplificar:
Então, a equação geral do plano é:
Passo 6
Agora, vamos escrever o sistema de equações paramétricas do mesmo plano. Para isso, usamos um ponto do plano e dois vetores diretores que estão no plano (nossos vetores x = x0 + s cdot vx + t cdot wx y = y0 + s cdot vy + t cdot wy z = z0 + s cdot vz + t cdot wz e x = 2 + s(-6) + t(-2) y = 1 + s(-3) + t(-1) z = 0 + s(-1) + t(1) ).
A forma geral das equações paramétricas é:
x = 2 - 6s - 2t y = 1 - 3s - t z = -s + t
Onde:
é o ponto inicial (usaremos ).
e são os vetores diretores ( e ).
e são os parâmetros.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano é x = 2 - 6s - 2t y = 1 - 3s - t z = -s + t e o sistema de equações paramétricas é: