Nos Problemas 7 a 11, escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:
A (2, 1, O), B (-4,-2,-1) e C (O, O, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever tanto a equação geral quanto o sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos três pontos , e .
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre planos.
O que vamos precisar:
  • Vetores a partir dos pontos dados.
  • Produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano.
  • Fórmula da equação geral do plano.
  • Utilização de parâmetros para as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano no espaço. Um plano é determinado por três pontos não colineares. Para escrever a equação geral do plano, precisamos encontrar o vetor normal a esse plano.

Passo 3

Vamos começar determinando dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso criando vetores a partir dos pontos AB = B - A = (-4 - 2, -2 - 1, -1 - 0) = (-6, -3, -1) , AC = C - A = (0 - 2, 0 - 1, 1 - 0) = (-2, -1, 1) e .
Vetor é a diferença entre os pontos e :
Vetor é a diferença entre os pontos e :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n = AB times AC ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre n = i & j & k -6 & -3 & -1 -2 & -1 & 1 = i((-3)(1) - (-1)(-1)) - j((-6)(1) - (-1)(-2)) + k((-6)(-1) - (-3)(-2)) e n = i(-3 - 1) - j(-6 - 2) + k(6 - 6) = i(-4) - j(-8) + k(0) .
n = (-4, 8, 0)
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Portanto, o vetor normal é:

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto do plano, por exemplo -4(x - 2) + 8(y - 1) + 0(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-4x + 8y + 8 = 0
Substituindo os valores:
-4x + 8y = -8
Simplificando a expressão:
x - 2y = 2
Ou, rearranjando:
x - 2y = 2
Dividindo todos os termos por -4 para simplificar:
Então, a equação geral do plano é:

Passo 6

Agora, vamos escrever o sistema de equações paramétricas do mesmo plano. Para isso, usamos um ponto do plano e dois vetores diretores que estão no plano (nossos vetores x = x0 + s cdot vx + t cdot wx y = y0 + s cdot vy + t cdot wy z = z0 + s cdot vz + t cdot wz e x = 2 + s(-6) + t(-2) y = 1 + s(-3) + t(-1) z = 0 + s(-1) + t(1) ).
A forma geral das equações paramétricas é:
x = 2 - 6s - 2t y = 1 - 3s - t z = -s + t
Onde:
  • é o ponto inicial (usaremos ).
  • e são os vetores diretores ( e ).
  • e são os parâmetros.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é x = 2 - 6s - 2t y = 1 - 3s - t z = -s + t e o sistema de equações paramétricas é:

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