Sejam alpha=u1=(1,1,-2), u2=(0,1,1), u3=(2,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u2-2 u3, v2=u1+2 u2-2 u3 e v3=u1+u2-u3.
(b) Encontre [v]beta, se v=(3,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor v = (3, 2, 1) na base beta. Estamos trabalhando com mudança de base em R^3. Para resolver isso, vamos precisar das vetores que formam a base beta e entender como expressar v como uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores da base beta. Eles são definidos em termos da base alpha:
v1 = u1 - u2 - 2u3 = (1, 1, -2) - (0, 1, 1) - 2(2, 1, 0) = (1 - 0 - 4, 1 - 1 - 2, -2 - 1 - 0) = (-3, -2, -3)
v2 = u1 + 2u2 - 2u3 = (1, 1, -2) + 2(0, 1, 1) - 2(2, 1, 0) = (1 + 0 - 4, 1 + 2 - 2, -2 + 2 - 0) = (-3, 1, 0)
v3 = u1 + u2 - u3 = (1, 1, -2) + (0, 1, 1) - (2, 1, 0) = (1 + 0 - 2, 1 + 1 - 1, -2 + 1 - 0) = (-1, 1, -1)
Então, os vetores da base beta são:
beta = v1 = (-3, -2, -3), v2 = (-3, 1, 0), v3 = (-1, 1, -1)

Passo 3

Agora, para encontrar [v]beta, precisamos achar os escalares a, b e c tais que:
v = av1 + bv2 + cv3
Substituindo os valores:
(3, 2, 1) = a(-3, -2, -3) + b(-3, 1, 0) + c(-1, 1, -1)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-3a - 3b - c = 3 -2a + b + c = 2 -3a + 0b - c = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, observamos a terceira equação:
-3a - c = 1 Rightarrow c = -3a - 1
Agora, substituímos c na segunda equação:
-2a + b + (-3a - 1) = 2 Rightarrow -5a + b - 1 = 2 Rightarrow b = 5a + 3
Em seguida, substituímos b e c na primeira equação:
-3a - 3(5a + 3) - (-3a - 1) = 3
Simplificando:
-3a - 15a - 9 + 3a + 1 = 3 Rightarrow -15a - 8 = 3 Rightarrow -15a = 11 Rightarrow a = -1115

Passo 5

Com o valor de a, encontramos b e c:
b = 5(-1115) + 3 = -5515 + 4515 = -1015 = -23
c = -3(-1115) - 1 = 3315 - 1 = 3315 - 1515 = 1815 = 65

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor v = (3, 2, 1) na base beta são:
[v]beta = ( -1115, -23, 65 )

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