Sejam v1=(1,-2,2,3,1), v2=(3,-2,3,4,-1), v3=(2,-8,7,11,6), v4=(-9,2,-9,-2,3) e W=L(v1, v2, v3, v4)=alpha1 v1+alpha2 v2+alpha3 v3+alpha4 v4 ; alpha1, alpha2, alpha3, alpha4 in R um subespaço do R^5.
© O conjunto beta cupv é uma base para o R^5 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá quatro vetores em e define o subespaço como todas as combinações lineares desses vetores. A questão © pergunta se, ao juntar um conjunto com mais um vetor , a união forma uma base para todo o espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, combinações lineares, base e dimensão.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os quatro vetores dados são linearmente independentes. Isso nos dirá a dimensão do subespaço , ou seja, quantos vetores na base de são necessários.

Passo 3

Para saber se os vetores são linearmente independentes, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante ou fazemos uma redução de linha para ver o posto da matriz.
Vamos montar a matriz A = 1 & 3 & 2 & -9 -2 & -2 & -8 & 2 2 & 3 & 7 & -9 3 & 4 & 11 & -2 1 & -1 & 6 & 3 :

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss para reduzir a matriz e encontrar o posto:
  1. Primeira coluna: Já temos 1 no topo, então usamos ele para zerar os demais elementos abaixo.
  2. Segunda coluna: Continuamos o processo para deixar a matriz em forma escalonada.
  3. Repetimos até que a matriz esteja reduzida.
Após a redução, observamos que há 3 pivôs, ou seja, a matriz tem posto 3. Isso significa que apenas 3 dos 4 vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como é gerado por 4 vetores, mas esses apenas formam um conjunto de dimensão 3, então a dimensão de é 3. Portanto, uma base para tem 3 vetores.

Passo 6

Agora, a questão é se é uma base para . Sabemos que tem dimensão 5, o que significa que precisamos de 5 vetores linearmente independentes** para formar uma base.
Como já tem 3 vetores (base de ) e adicionamos mais 1 vetor , o total é de 4 vetores. Isso não é suficiente para , que precisa de 5 vetores.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base para porque contém apenas 4 vetores, e são necessários 5 vetores linearmente independentes para formar uma base nesse espaço.

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