Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares representado pela matriz:
Matéria envolvida: Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre autovalores, autovetores e como utilizá-los para resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Isso envolve resolver a equação característica, que é:
Onde
é a matriz dos coeficientes e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Igualando a determinante a zero para achar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Agora, para cada autovalor, encontramos os autovetores correspondentes resolvendo
.
Para
:
Resolvendo, temos
e
. Então, uma solução é
.
Para
:
Isso leva a
e
livre. Então, uma solução é
.
Passo 7
Como
tem multiplicidade 2, precisamos verificar se há um autovetor adicional ou se precisamos de um vetor generalizado.
Verificando, encontramos que há apenas um autovetor para
. Portanto, precisamos encontrar um vetor generalizado.
Resolvemos
, onde
é o autovetor encontrado anteriormente.
Após os cálculos, obtemos um vetor generalizado adicional
.
Passo 8
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema combinando os autovetores e o vetor generalizado:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.