Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado. X' = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]] X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares representado pela matriz:
Matéria envolvida: Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre autovalores, autovetores e como utilizá-los para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Isso envolve resolver a equação característica, que é:
Onde é a matriz dos coeficientes e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Igualando a determinante a zero para achar os autovalores:
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Agora, para cada autovalor, encontramos os autovetores correspondentes resolvendo .
Para :
Resolvendo, temos e . Então, uma solução é .
Para :
Isso leva a e livre. Então, uma solução é .

Passo 7

Como tem multiplicidade 2, precisamos verificar se há um autovetor adicional ou se precisamos de um vetor generalizado.
Verificando, encontramos que há apenas um autovetor para . Portanto, precisamos encontrar um vetor generalizado.
Resolvemos , onde é o autovetor encontrado anteriormente.
Após os cálculos, obtemos um vetor generalizado adicional .

Passo 8

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema combinando os autovetores e o vetor generalizado:
Simplificando:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

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