Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma X' = AX, onde A é a matriz dada:
A = -1 & -1 & 0 34 & -32 & 3 18 & 14 & -12
Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema.
Passo 2
Para resolver esse sistema, vamos utilizar o método dos autovalores e autovetores. Isso envolve encontrar os autovalores (lambda) da matriz A e, para cada autovalor, encontrar os correspondentes autovetores (v). A solução geral será uma combinação linear dessas soluções básicas.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade de ordem 3. Vamos calcular A - lambda I:
Continuando o processamento, obtemos os valores de lambda que satisfazem a equação característica.
Passo 4
Após resolver a equação característica, encontramos os autovaloreslambda1, lambda2, e lambda3. Para cada autovalor, precisamos encontrar o autovetor correspondente, resolvendo o sistema (A - lambda I)v = 0.
Por exemplo, para um autovalor lambda1, resolvemos: