Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado. X' = (10 -5; 8 -12) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. A gente vai trabalhar com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem, onde a matriz dos coeficientes é . Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) dessa matriz. Com esses elementos, conseguimos montar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Para isso, a gente monta a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz dos coeficientes, representa os valores próprios e é a matriz identidade. Calculando:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos dois valores próprios:

Passo 4

Agora que temos os valores próprios e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então . Então, o vetor próprio correspondente é .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então . Então, o vetor próprio correspondente é .

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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