Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me passou. A gente vai trabalhar com um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem, onde a matriz dos coeficientes é
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) dessa matriz. Com esses elementos, conseguimos montar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Para isso, a gente monta a equação característica, que é dada por:
Onde
é a matriz dos coeficientes,
representa os valores próprios e
é a matriz identidade. Calculando:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Então, temos dois valores próprios:
Passo 4
Agora que temos os valores próprios
e
, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta na equação:
Podemos escolher
, então
. Então, o vetor próprio correspondente é
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta na equação:
Podemos escolher
, então
. Então, o vetor próprio correspondente é
.
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.