Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz que está multiplicando a variável
. Esses conceitos são fundamentais para achar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Calculando, temos:
Então, o determinante é:
Passo 3
Vamos simplificar o determinante:
Então, a equação característica fica:
Fatorando:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta nas equações:
Podemos escolher
, então
. Assim, o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso resulta nas equações:
Podemos escolher
, então
. Assim, o autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada par
contribui para uma solução particular da forma:
Então, temos:
A solução geral é a combinação linear dessas soluções particulares:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.