Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado. X' = (-6 2; -3 1) X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz que está multiplicando a variável . Esses conceitos são fundamentais para achar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando, temos:
Então, o determinante é:

Passo 3

Vamos simplificar o determinante:
Então, a equação característica fica:
Fatorando:
Isso nos dá os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta nas equações:
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso resulta nas equações:
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada par contribui para uma solução particular da forma:
Então, temos:
A solução geral é a combinação linear dessas soluções particulares:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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<html><head></head><body><div>Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.149ex;” xmlns=“
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data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(7611,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D417” d=“M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Resolva a equação diferencial, verificando qual de funções <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
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