Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado. X' = (-6 2; -3 1) X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais dado por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz que está multiplicando a variável . Esses conceitos são fundamentais para achar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando, temos:
Então, o determinante é:

Passo 3

Vamos simplificar o determinante:
Então, a equação característica fica:
Fatorando:
Isso nos dá os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta nas equações:
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso resulta nas equações:
Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada par contribui para uma solução particular da forma:
Então, temos:
A solução geral é a combinação linear dessas soluções particulares:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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