Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Esse é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Isso simplifica a resolução, pois agora temos uma equação fácil de integrar.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Seja
$$
f(x)=e{-x{2}}$$
Determine:
a) Domínio
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty cos n+36^n
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty(15^n+n)
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
12. t * y' + (t + 1) * y = t, y(ln 2) = 1, t > 0