Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e então integrar para achar a solução geral. Depois, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante específica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
Nossa equação original é:
Então, dividimos todos os termos por
(lembrando que
) para isolar
:
Passo 3
Agora, identificamos
e
na equação padrão:
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes:
Seja e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Seja
Aplicando integração por partes:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para achar a constante
:
Simplificando
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando tudo por
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Resolva as seguintes desigualdades
.