Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
12. t * y' + (t + 1) * y = t, y(ln 2) = 1, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e então integrar para achar a solução geral. Depois, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante específica.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
Nossa equação original é:
Então, dividimos todos os termos por (lembrando que ) para isolar :

Passo 3

Agora, identificamos e na equação padrão:
O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:
Então, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para achar a constante :
Simplificando :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando tudo por :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty(15^n+n)
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty sen^2(pin)
Resolva as seguintes desigualdades
|x| - |x - 1| < x.