Verifique se são convergentes:
Passo 1
Vamos lá! Temos que verificar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e entender como analisar cada termo dessa soma para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a série original em duas séries separadas:
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
.
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão comum
. A fórmula geral de uma série geométrica é:
No nosso caso,
e
.
Sabemos que uma série geométrica converge se
. Aqui,
, então essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série:
.
Essa é uma série harmônica do tipo
, onde cada termo cresce linearmente.
Sabemos que, para que uma série converja, é necessário que o termo geral da série, neste caso
, tenda a zero quando
tende ao infinito. Porém:
Como o limite não é zero, essa série diverge.
Passo 5
Finalmente, juntando as duas análises:
- A primeira série
converge. - A segunda série
diverge.
Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, o resultado geral diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.
Exercícios relacionados
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Seja
$$
f(x)=e{-x{2}}$$
Determine:
a) Domínio
Determine:
a) Domínio
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Verifique se são convergentes: