Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty(15^n+n)

Passo 1

Vamos lá! Temos que verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e entender como analisar cada termo dessa soma para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a série original em duas séries separadas:
sumn=1^+infty(15^n + n) = sumn=1^+infty15^n + sumn=1^+inftyn

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: sumn=1^+inftyar^n-1 .
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão comum . A fórmula geral de uma série geométrica é:
No nosso caso, e .
Sabemos que uma série geométrica converge se . Aqui, , então essa série converge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: limn to +infty n = +infty neq 0 .
Essa é uma série harmônica do tipo , onde cada termo cresce linearmente.
Sabemos que, para que uma série converja, é necessário que o termo geral da série, neste caso , tenda a zero quando tende ao infinito. Porém:
Como o limite não é zero, essa série diverge.

Passo 5

Finalmente, juntando as duas análises:
  • A primeira série converge.
  • A segunda série diverge.
Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, o resultado geral diverge.

Resposta

A série não converge; ela diverge.

Exercícios relacionados

Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0
Seja
$$
f(x)=e{-x{2}}$$
Determine:
a) Domínio
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
12. t * y' + (t + 1) * y = t, y(ln 2) = 1, t > 0
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty sen^2(pin)