Verifique se são convergentes:
Passo 1
Vamos verificar se a série infinita
converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, como o teste da comparação e o comportamento geral dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos observar como se comporta o termo
quando
fica muito grande. Sabemos que, para valores pequenos de
, o seno de
é aproximadamente igual a
, ou seja,
quando
.
Passo 3
Aplicando isso, para
grande, temos:
Então, elevando ao quadrado:
Passo 4
Agora, consideramos a série comparativa
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que séries p convergem quando
. Portanto,
é convergente.
Passo 5
Como os termos da nossa série original
são aproximadamente iguais a
para
grande, podemos usar o teste da comparação. Já que a série comparativa converge e nossos termos são menores ou iguais a ela, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Verifique se são convergentes:
Resolva as seguintes desigualdades
.
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: