Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty sen^2(pin)

Passo 1

Vamos verificar se a série infinita sumn=1^+infty sin^2(pin) converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, como o teste da comparação e o comportamento geral dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos observar como se comporta o termo sin(pin) quando n fica muito grande. Sabemos que, para valores pequenos de x, o seno de x é aproximadamente igual a x, ou seja, sin x approx x quando x 0.

Passo 3

Aplicando isso, para n grande, temos:
sin(pin) approx pin
Então, elevando ao quadrado:
sin^2(pin) approx (pin)^2 = pi^2n^2

Passo 4

Agora, consideramos a série comparativa sumn=1^+infty 1n^2. Essa é uma série p, onde p = 2. Sabemos que séries p convergem quando p > 1. Portanto, sumn=1^+infty 1n^2 é convergente.

Passo 5

Como os termos da nossa série original sin^2(pin) são aproximadamente iguais a pi^2n^2 para n grande, podemos usar o teste da comparação. Já que a série comparativa converge e nossos termos são menores ou iguais a ela, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty sin^2(pin) é convergente.

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