Resolva as seguintes desigualdades
|x| - |x - 1| < x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Essa questão envolve módulos (ou valores absolutos) e desigualdades. Para resolver, a gente precisa entender como os valores absolutos funcionam e dividir a resolução em casos, dependendo dos valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. No caso de e , isso acontece quando:
  • (para )
  • (para )
Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos onde a expressão dentro do módulo mantém o mesmo sinal. Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 3

Intervalo 1:
Nesse intervalo:
  • (porque é negativo)
  • (porque também é negativo)
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Como neste intervalo, combinando com , temos:

Passo 4

Intervalo 2:
Nesse intervalo:
  • (porque é não negativo)
  • (porque é negativo)
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Como já está definido, não há restrição adicional neste intervalo.

Passo 5

Intervalo 3:
Nesse intervalo:
  • (porque é não negativo)
  • (porque é não negativo)
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Como neste intervalo, a solução é .

Resposta

A solução da desigualdade é:

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Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty sen^2(pin)
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
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