Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde
. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e das equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
no ponto
. Basta substituir
por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos derivar a função
usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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