Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e das equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de no ponto . Basta substituir por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos derivar a função usando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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