Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar os dois binômios:
Agora, juntando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora que temos a função simplificada, vamos encontrar a derivada dela. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A regra para derivar é:
Aplicando isso à nossa função :

Passo 4

Agora vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto onde . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 17.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Substituímos na função original para encontrar :
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora que temos a inclinação da reta tangente ( ) e um ponto por onde essa reta passa ( ), podemos usar a equação da reta na forma .
Sabemos que quando , , então:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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