Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na equação da curva:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente. Temos:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então
Aqui, e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Agora, avaliamos a derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com o ponto e a inclinação , usamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.
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