Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Substituindo na equação da curva:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente. Temos:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Agora, avaliamos a derivada em
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 7
Com o ponto
e a inclinação
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto
.
Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.
Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.
Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.