Nos Problemas 1-22, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todas as expressões com fiquem de um lado e as que têm no outro. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e como aplicar esse método específico.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . A equação original é:
Então, subtraindo de ambos os lados, temos:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todas as expressões com de um lado e com do outro. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por :
Aqui, reescrevemos a equação para que e seus termos estejam de um lado, e e seus termos do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função em termos de :
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, após integrar, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a equação para resolver . Multiplicando ambos os lados por :
Agora, invertendo ambos os lados para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é a constante de integração.

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Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.