Nos Problemas 1-22, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
4.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todas as expressões com
fiquem de um lado e as que têm
no outro. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e como aplicar esse método específico.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. A equação original é:
Então, subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões com
de um lado e com
do outro. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por
:
Aqui, reescrevemos a equação para que
e seus termos estejam de um lado, e
e seus termos do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função
em termos de
:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a equação para resolver
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, invertendo ambos os lados para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é a constante de integração.
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Em cada um dos problemas abaixo, verifique se a função dada é solução da equação diferencial.