Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a seguinte equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros:
Primeiro, vamos identificar de qual tipo de equação estamos lidando. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea devido ao termo , que torna a equação não linear. O método da variação dos parâmetros é geralmente aplicado para equações diferenciais lineares. Portanto, precisamos verificar se podemos aplicar esse método ou se precisamos adaptar nossa abordagem.

Passo 2

Vamos analisar a equação:
Observe que o termo torna a equação não linear. O método da variação dos parâmetros é adequado para equações da forma:
onde , e são funções de . Nossa equação atual não se encaixa nessa forma devido ao termo .

Passo 3

Como a equação não é linear, o método da variação dos parâmetros não é diretamente aplicável. Mas, vamos explorar alternativas. Uma possibilidade é verificar se a equação pode ser linearizada ou se existe uma substituição que simplifique a equação.
No entanto, devido à presença do , não há uma substituição óbvia que torne a equação linear. Portanto, precisamos considerar métodos adequados para equações diferenciais não lineares.

Passo 4

Para equações diferenciais não lineares, uma abordagem comum é buscar soluções particulares assumindo uma forma específica para . Outra possibilidade é usar métodos numéricos ou séries para encontrar soluções aproximadas.
Mas, sem informações adicionais ou condições iniciais específicas, fica complicado avançar com uma solução explícita para essa equação.

Passo 5

Dado que o exercício nos instrui a usar o método da variação dos parâmetros, é provável que haja um erro no enunciado ou que o termo seja, na verdade, linear (por exemplo, ). Vamos considerar que o enunciado correto seja:
Agora, a equação é linear e podemos aplicar o método da variação dos parâmetros.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 7

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 8

Agora, aplicamos o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Assumimos que:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 9

Calculamos as derivadas de :
Para simplificar, impomos:
e

Passo 10

Resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:
Logo,

Passo 11

Integrando :
Fazendo a substituição , então , o que simplifica a integral para:
Desconsideramos a constante de integração pois estamos buscando uma solução particular.

Passo 12

Voltando à primeira equação do sistema:
Substituímos :
Isolamos :

Passo 13

Integramos :
Fazemos a substituição , então , e . Reescrevemos a integral:
Ignoramos a constante .

Passo 14

Agora temos e .
Substituímos na expressão de :
Simplificando:

Passo 15

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos simplificar os termos semelhantes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial utilizando o método da variação dos parâmetros é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais. A solução é válida para todo , já que as funções envolvidas são bem definidas para qualquer valor de .

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