Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade usando indução matemática. Isso significa que vamos provar que essa desigualdade é verdadeira para todo número inteiro positivo . Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos começar verificando se a desigualdade funciona para o caso inicial, ou seja, quando . Isso é importante para ter certeza de que nossa base da indução está correta.
Quando :
E do outro lado da desigualdade:
Então, temos:
Isso é verdade, então a base da nossa indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum inteiro positivo . Ou seja, vamos supor que:
Esse passo é chamado de hipótese de indução. Vamos usar essa suposição para provar que a desigualdade também é válida para .

Passo 4

Nosso objetivo é provar que:
Vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
Então, precisamos mostrar que:

Passo 5

Vamos manipular a desigualdade que queremos provar:
Podemos reescrever como :
Agora, subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Vamos fatorar do lado direito:
Ou seja:
Sabemos que é sempre maior que 1 para qualquer inteiro positivo , então a desigualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a desigualdade é válida para todo inteiro positivo .

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Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
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