Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade
usando indução matemática. Isso significa que vamos provar que essa desigualdade é verdadeira para todo número inteiro positivo
. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos começar verificando se a desigualdade funciona para o caso inicial, ou seja, quando
. Isso é importante para ter certeza de que nossa base da indução está correta.
Quando
:
E do outro lado da desigualdade:
Então, temos:
Isso é verdade, então a base da nossa indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum inteiro positivo
. Ou seja, vamos supor que:
Esse passo é chamado de hipótese de indução. Vamos usar essa suposição para provar que a desigualdade também é válida para
.
Passo 4
Nosso objetivo é provar que:
Vamos simplificar o lado direito da desigualdade:
Então, precisamos mostrar que:
Passo 5
Vamos manipular a desigualdade que queremos provar:
Podemos reescrever
como
:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 6
Vamos fatorar
do lado direito:
Ou seja:
Sabemos que
é sempre maior que 1 para qualquer inteiro positivo
, então a desigualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a desigualdade
é válida para todo inteiro positivo
.
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Seja e, para
.
Quais são os cinco primeiros termos da sequência ?
Prove que .
Seja
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
Prove que
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.