As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Seja
e, para
.
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
?
Prove que
.
Seja
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma sequência de números definida por recorrência, o que significa que cada termo depende dos anteriores. Precisamos encontrar os cinco primeiros termos da sequência e, depois, provar que o enésimo termo é dado por
. Para isso, vamos usar a definição dada da sequência e um pouquinho de matemática para provar a fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os termos que já conhecemos:
e
. Agora, vamos calcular o próximo termo usando a fórmula da recorrência:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando o mesmo processo:
Passo 4
Continuando, vamos encontrar
:
Então, os cinco primeiros termos da sequência são:
Passo 5
Agora, vamos provar que
. Para isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural
. A indução tem dois passos principais: a base e o passo indutivo.
Passo 6
Base da Indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para os primeiros valores de
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Passo Indutivo: Vamos supor que a fórmula funciona para e
, ou seja:
Passo Indutivo: Vamos supor que a fórmula funciona para
Agora, precisamos mostrar que a fórmula também funciona para
.
Usando a definição da recorrência:
Substituindo pelas hipóteses de indução:
O que confirma que a fórmula funciona para
.
Resposta
Portanto, os cinco primeiros termos da sequência são
,
,
,
,
, e a fórmula geral para qualquer termo
da sequência é
.
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é um inteiro positivo.
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.
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