As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Seja e, para .
Quais são os cinco primeiros termos da sequência ?
Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma sequência de números definida por recorrência, o que significa que cada termo depende dos anteriores. Precisamos encontrar os cinco primeiros termos da sequência e, depois, provar que o enésimo termo é dado por . Para isso, vamos usar a definição dada da sequência e um pouquinho de matemática para provar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os termos que já conhecemos: e . Agora, vamos calcular o próximo termo usando a fórmula da recorrência:
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular usando o mesmo processo:

Passo 4

Continuando, vamos encontrar :
Então, os cinco primeiros termos da sequência são:

Passo 5

Agora, vamos provar que . Para isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural . A indução tem dois passos principais: a base e o passo indutivo.

Passo 6

Base da Indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para os primeiros valores de .
Para :
Para :
Passo 7
Passo Indutivo: Vamos supor que a fórmula funciona para e , ou seja:
Agora, precisamos mostrar que a fórmula também funciona para .
Usando a definição da recorrência:
Substituindo pelas hipóteses de indução:
O que confirma que a fórmula funciona para .

Resposta

Portanto, os cinco primeiros termos da sequência são , , , , , e a fórmula geral para qualquer termo da sequência é .

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.
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