As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Denote por Fn o n-ésimo número de Finonacci. Prove:
F_n = (((1 + raiz(5)) / 2)^(n + 1) - ((1 - raiz(5)) / 2)^(n + 1)) / raiz(5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que o n-ésimo número de Fibonacci, denotado por Fn, pode ser expresso pela fórmula:
F_n = (((1 + raiz(5)) / 2)^(n + 1) - ((1 - raiz(5)) / 2)^(n + 1)) / raiz(5)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de fórmula de Binet, que nos dá uma expressão fechada para os números de Fibonacci sem precisar calcular todos os anteriores. Vamos precisar entender um pouco sobre sequências recorrentes e raízes da equação característica associada à recorrência dos números de Fibonacci.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a sequência de Fibonacci é definida pela recorrência:
com condições iniciais e . Nossa meta é encontrar uma fórmula que nos permita calcular Fn diretamente, sem depender dos anteriores.

Passo 3

Para resolver essa recorrência, vamos assumir que a solução tem a forma:
Substituindo na equação de recorrência:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Isso nos leva à equação caracter��stica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Chamamos as soluções de e . A solução geral da recorrência é então uma combinação linear dessas raízes:

Passo 5

Para encontrar os coeficientes A e B, usamos as condições iniciais:
Para :
Para :
Resolvendo o sistema:
Calculando :
Então, e

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral:
Agora, para ajustar o índice, observamos que na definição da fórmula de Binet, frequentemente usamos n + 1 em vez de n. Portanto, podemos reescrever a expressão como:

Resposta

Portanto, provamos que:

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