As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Denote por
o
-ésimo número de Finonacci. Prove:
Denote por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que o
-ésimo número de Fibonacci, denotado por
, pode ser expresso pela fórmula:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de fórmula de Binet, que nos dá uma expressão fechada para os números de Fibonacci sem precisar calcular todos os anteriores. Vamos precisar entender um pouco sobre sequências recorrentes e raízes da equação característica associada à recorrência dos números de Fibonacci.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a sequência de Fibonacci é definida pela recorrência:
com condições iniciais
e
. Nossa meta é encontrar uma fórmula que nos permita calcular
diretamente, sem depender dos anteriores.
Passo 3
Para resolver essa recorrência, vamos assumir que a solução tem a forma:
Substituindo na equação de recorrência:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Isso nos leva à equação caracter��stica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Chamamos as soluções de
e
. A solução geral da recorrência é então uma combinação linear dessas raízes:
Passo 5
Para encontrar os coeficientes
e
, usamos as condições iniciais:
Para
:
Para
:
Resolvendo o sistema:
-
⇒ -
⇒ ⇒
Calculando
:
Então,
e
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Agora, para ajustar o índice, observamos que na definição da fórmula de Binet, frequentemente usamos
em vez de
. Portanto, podemos reescrever a expressão como:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.