Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma dos termos é igual a para qualquer número inteiro positivo . Para fazer isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica que nos ajuda a provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso mais simples, quando . Esse é o nosso caso base.
Para , a soma é apenas .
Agora, vamos ver o que a fórmula nos dá:
Como os dois lados são iguais, o caso base é verdadeiro!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro positivo . Isso significa que:
Esse é o nosso hipótese de indução.

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para .
Vamos considerar a soma para :
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que a soma até é . Então, substituímos:
Agora, vamos simplificar isso:
Então, mostramos que a soma para também é .

Passo 5

Como verificamos o caso base e mostramos que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para , podemos concluir, pela indução matemática, que a igualdade vale para todos os números inteiros positivos .

Resposta

Portanto, a igualdade é verdadeira para todo inteiro positivo .

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(b)