Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma dos termos
é igual a
para qualquer número inteiro positivo
. Para fazer isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica que nos ajuda a provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso mais simples, quando
. Esse é o nosso caso base.
Para
, a soma é apenas
.
Agora, vamos ver o que a fórmula nos dá:
Como os dois lados são iguais, o caso base é verdadeiro!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro positivo
. Isso significa que:
Esse é o nosso hipótese de indução.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Vamos considerar a soma para
:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que a soma até
é
. Então, substituímos:
Agora, vamos simplificar isso:
Então, mostramos que a soma para
também é
.
Passo 5
Como verificamos o caso base e mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
, podemos concluir, pela indução matemática, que a igualdade vale para todos os números inteiros positivos
.
Resposta
Portanto, a igualdade
é verdadeira para todo inteiro positivo
.
Exercícios relacionados
Prove que todo inteiro positivo pode ser expresso como a soma de números de Fibonacci distintos.
Por exemplo, , onde 2, 5,13 são, obviamente, números de Fibonacci. Embora possamos escrever
, isso não ilustra o resultado, porque utilizamos 5 duas vezes.
Por exemplo,
Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo mélodo da variaçăo dos parảmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis no número 2 e seja
. Use as regras de diferenciação para calcular:
(b)
(b)